本文來(lái)自微信公眾號(hào)“老顧談幾何”，作者顧險(xiǎn)峰教授，雷鋒網(wǎng)經(jīng)顧險(xiǎn)峰授權(quán)轉(zhuǎn)載。

顧險(xiǎn)峰教授，美國(guó)紐約州立大學(xué)石溪分校計(jì)算機(jī)系和應(yīng)用數(shù)學(xué)系的終身教授，也是清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心訪問(wèn)教授。曾獲美國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金CAREER獎(jiǎng)，中國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金海外杰出青年獎(jiǎng)（與胡事民教授合作），“華人菲爾茨獎(jiǎng)”：晨興應(yīng)用數(shù)學(xué)金獎(jiǎng)。

丘成桐先生和顧險(xiǎn)峰博士團(tuán)隊(duì)，將微分幾何，代數(shù)拓?fù)?，黎曼面理論，偏微分方程與計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合，創(chuàng)立跨領(lǐng)域?qū)W科“計(jì)算共形幾何”，并廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，計(jì)算機(jī)視覺(jué)，幾何建模，無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)，醫(yī)學(xué)圖像等領(lǐng)域。目前已經(jīng)發(fā)表二百篇余篇國(guó)際論文，學(xué)術(shù)專著包括“Computational Conformal Geometry”（計(jì)算共形幾何）， “Ricci Flow for Surface Registration and Shape Analysis”等。

以下是顧險(xiǎn)峰教授著作的原文：

紐約長(zhǎng)島有著得天獨(dú)厚的自然條件，這里氣候溫潤(rùn)，海岸線漫長(zhǎng)。美麗的石溪大學(xué)坐落在長(zhǎng)島中部，坐擁一片私人海灘。這片海灘不為人知，空曠寂寥，深沉靜謐。學(xué)校師生經(jīng)常來(lái)這里沐浴海風(fēng)，遠(yuǎn)眺大洋，特別在黃昏時(shí)分，在落日余暉中參省冥思，體悟自然真理。

1970年代初期，年輕的化學(xué)系助理教授Paul Lauterbur博士經(jīng)常帶著他的女兒來(lái)這里散步思考。有一天，三歲的小女孩在岸邊撿到了一只微小的黑色蛤蜊，Paul為這只蛤蜊拍攝了人類歷史上第一張活體斷層圖像。很可惜，短視的石溪大學(xué)拒絕為Paul的發(fā)明申請(qǐng)專利，專家們一致認(rèn)為“這項(xiàng)發(fā)明可能帶來(lái)的轉(zhuǎn)讓費(fèi)不會(huì)彌補(bǔ)專利申請(qǐng)費(fèi)?！弊罱K，石溪失去了Lauterbur博士，也失去了經(jīng)濟(jì)上騰飛的一次機(jī)遇。歷史是公正的，因?yàn)榘l(fā)明了核磁共振斷層掃描技術(shù)，Paul Lauterbur博士于2003年獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。

數(shù)十年來(lái)，核磁共振技術(shù)和CT斷層掃描技術(shù)徹底地革命了醫(yī)學(xué)，醫(yī)學(xué)影像技術(shù)使得醫(yī)生可以直接看到病人體內(nèi)，從而精準(zhǔn)地進(jìn)行診斷，制定治療方案，檢驗(yàn)治療效果。很多病變都會(huì)誘發(fā)器官組織的變形，或者由器官變形所誘發(fā)，例如大腦皮層的萎縮退化誘導(dǎo)老年失智，各種腫瘤會(huì)在器官表面形成凸起，骨質(zhì)流失會(huì)引起骨骼的變形。因此，醫(yī)生可以通過(guò)精確比對(duì)器官的幾何形狀，來(lái)判斷臟器是否反常；通過(guò)分析腫瘤的幾何特征，來(lái)判斷腫瘤的良性惡性。這些可以歸結(jié)為醫(yī)學(xué)影像的配準(zhǔn)（registration）和分析（analysis）問(wèn)題。

醫(yī)學(xué)影像是一個(gè)非常龐大的學(xué)科，有種類繁多的計(jì)算方法。圖像配準(zhǔn)的方法也是異常豐富，理論嚴(yán)謹(jǐn)，富有實(shí)效。從基礎(chǔ)的方法論角度而言，比較普適的主要有基于微分幾何的方法，基于流體力學(xué)的方法和基于概率測(cè)度理論的方法。雖然，這些途徑中問(wèn)題提法、數(shù)學(xué)工具、計(jì)算機(jī)算法非常不同，但是最終都可以歸結(jié)為幾何偏微分方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為變分優(yōu)化問(wèn)題。這三種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，相輔相成，都有很大的實(shí)用價(jià)值。每種方法都在迅猛發(fā)展，分支眾多。下面，我們簡(jiǎn)略討論這三種方法的核心思想和最簡(jiǎn)單的算法。每一種方法深入下去，都是一片浩瀚的海洋。

微分幾何方法

首先，我們從醫(yī)學(xué)圖像中提取我們感興趣的器官，表示成二維曲面或者三維實(shí)體。例如，我們希望研究大腦皮層曲面。首先得到整個(gè)顱部的核磁共振斷層掃描圖像；然后對(duì)每個(gè)斷層的圖像進(jìn)行分割（segmentation），將不同的組織進(jìn)行區(qū)分，將骨骼、腦灰質(zhì)、腦白質(zhì)分開(kāi)；其次，提取我們感興趣的組織輪廓（contour），主要是腦灰質(zhì)；然后將每個(gè)斷層圖像中的輪廓線摞在一起，組合成封閉曲面。當(dāng)然，實(shí)際算法遠(yuǎn)比理想描述復(fù)雜得多，每一步都會(huì)引入大量的幾何、拓?fù)湔`差，需要精細(xì)而嚴(yán)密的方法以提高穩(wěn)定性和精度。

圖1. 從醫(yī)學(xué)圖像中重建的大腦皮層曲面（王雅琳）

例如，我們比較同一個(gè)人不同時(shí)期掃描得到的大腦皮層曲面，來(lái)定量分析大腦萎縮情況。從根本層面上而言，我們希望將第一個(gè)大腦皮層上的每一個(gè)細(xì)胞映到第二個(gè)大腦皮層上相同的細(xì)胞位置。當(dāng)然，在目前技術(shù)現(xiàn)實(shí)中，這是無(wú)法真正做到的，我們可以通過(guò)設(shè)計(jì)各種能量，加上一些限制條件來(lái)逼近理想情形。大腦皮層上面有解剖學(xué)特征，例如溝回皺褶，我們要求微分同胚將主要的溝回映射到相應(yīng)的溝回上面。同時(shí)，我們要求曲面映射的幾何畸變最小。如果我們假設(shè)大腦皮層曲面是具有彈性的，那么我們要求映射帶來(lái)的彈性形變勢(shì)能最小。彈性勢(shì)能一般用調(diào)和能量來(lái)表述。根據(jù)不同的醫(yī)學(xué)應(yīng)用，我們可以設(shè)計(jì)不同的能量。假設(shè)我們已經(jīng)得到同一器官的不同曲面，或者兩個(gè)三維實(shí)體，注冊(cè)問(wèn)題的微分幾何提法如下：

從理論層面來(lái)講，我們需要明確知曉這一問(wèn)題解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性和正則性。從算法角度而言，我們需要求出能量的一階變分和二階變分。理論上的困難有很多，通常情況下，我們考慮的泛函空間-流形間的微分同胚空間本身并沒(méi)有緊性，即便我們找到了能量極小化序列，其極限不見(jiàn)得是微分同胚，因此解的存在性證明比較困難；如果能量沒(méi)有凸性，我們很難保證解的唯一性，能量的凸性很多時(shí)候依賴于流形本身的幾何特性，例如高斯曲率；各種直觀的幾何限制條件，例如特征點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，很難轉(zhuǎn)換成解析形式，往往用偏微分方程來(lái)表述，或者用變分的局部線性逼近來(lái)顯示表達(dá)。算法角度的困難也很多，計(jì)算機(jī)所能處理的計(jì)算都是離散的，如何將微積分表述的概念來(lái)離散逼近，如何加速收斂，如何用單純復(fù)形的組合結(jié)構(gòu)（離散多面體）來(lái)描述流形結(jié)構(gòu)，如何尋找適合數(shù)值偏微分方程的三角剖分或者樣條表示，這些問(wèn)題也都具有本質(zhì)困難。

基于微分幾何的注冊(cè)方法也有多種，比較常用的是基于共形幾何（conformal geometry）的內(nèi)蘊(yùn)方法，這種方法只依賴曲面的黎曼度量，不需要曲面的嵌入。

如圖2所示，其核心方法如下：

圖2. 基于共形幾何的曲面配準(zhǔn)方法

圖3. 曲面單值化

第二步，我們首先將標(biāo)準(zhǔn)空間的自同胚用擬共形映射（quasi-conformal map）來(lái)表述。所有的K-擬共形映射構(gòu)成的空間具有緊性，可以保證解的存在性。每個(gè)自映射可以用Beltrami微分來(lái)表示，因此我們?cè)贐eltrami微分空間中對(duì)相應(yīng)能量進(jìn)行變分，構(gòu)造能量極小序列，從而求得極限。這里問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何將限制條件用Beltrami微分來(lái)表示，和如何求得歐拉-拉格朗日方程。如果我們要求解是同胚，則Beltrami 微分的模小于1，如果我們要求解保持共形結(jié)構(gòu)，則Beltrami微分和源曲面上的全純二次微分作用為0，等等。很多時(shí)候，解的唯一性和正則性依賴于目標(biāo)曲面上的高斯曲率。例如，曲面間度為1的調(diào)和映射，如果目標(biāo)曲面上的高斯曲率處處為負(fù)，則必為微分同胚。再如，曲面間映射的任意同倫類中存在唯一的Teichmuller映射，使得曲面共形結(jié)構(gòu)畸變最小。調(diào)和映照和Teichmuller映射在醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)問(wèn)題中被經(jīng)常使用。在求解這些映射過(guò)程中，曲面的拓?fù)?、黎曼度量和共形結(jié)構(gòu)經(jīng)常被靈活變化，從而達(dá)到最優(yōu)的目的。

圖4. 腰椎骨質(zhì)流失測(cè)量，共形幾何方法（雷諾明）

流場(chǎng)方法

大形變微分同胚度量映射（LDDMM）方法考慮空間中的流場(chǎng)，每個(gè)粒子在空中流動(dòng)，每一剎那的流場(chǎng)用粒子的速度向量場(chǎng)來(lái)描述。固定時(shí)刻，粒子從起始位置到達(dá)終點(diǎn)位置，這給出了空間到自身的微分同胚。

圖5.孕期嬰兒大腦皮層36周到43周的生長(zhǎng)情況（Laurent Risser， LDDMM 方法）

概率測(cè)度方法

從根本層面上而言，CT圖像和MRI圖像反映的是人體內(nèi)部組織的密度。由此，我們可以將醫(yī)學(xué)圖像的灰度值看成是概率測(cè)度。兩個(gè)圖像之間的匹配應(yīng)該滿足如下條件：密度相近的點(diǎn)彼此對(duì)應(yīng)，每個(gè)原像點(diǎn)和其像點(diǎn)的距離盡量接近。從這個(gè)角度出發(fā)，人們提出了基于最優(yōu)傳輸理論（optimal transportation theory）的圖像匹配方法。

圖6. 大腦白質(zhì)圖像匹配（Allen Tannenbaum，最優(yōu)傳輸方法）

小結(jié)

這三類方法基于不同的物理和幾何的理解，所用的理論工具相距甚遠(yuǎn)，風(fēng)格迥異，各有千秋。

基于微分幾何的方法有著強(qiáng)烈的幾何直觀，只用黎曼度量，不需要流形在歐氏空間的嵌入，洗練簡(jiǎn)潔，嚴(yán)密普適，計(jì)算效率較高。但是需要比較抽象的黎曼幾何概念，需要先從圖像中提取器官曲面?；诹鲌?chǎng)的方法直接靈活，適用于各種數(shù)據(jù)類型，但是需要流形的嵌入，形變過(guò)程中曲面不允許自交。同時(shí)為了二維曲面匹配，需要計(jì)算三維背景空間的自同胚，計(jì)算量較大。基于最優(yōu)傳輸?shù)姆椒骖櫸锢碇庇X(jué)，可向高維直接推廣，但是所解方程高度非線性。另一方面，這幾種方法具有內(nèi)在的密切聯(lián)系：最優(yōu)傳輸?shù)拿扇?安培方程和微分幾何中的Alexandrov定理等價(jià)；最優(yōu)傳輸存在流體力學(xué)的解釋?？傊?，所有方法都是在微分同胚群中進(jìn)行優(yōu)化，問(wèn)題具有本質(zhì)的難度。

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