雷鋒網(wǎng) AI 科技評論：在2017圖像計算與數(shù)字醫(yī)學(xué)國際研討會（ISICDM）上，顧險峰教授應(yīng)邀出席并做了主題為“醫(yī)學(xué)圖像中的幾何方法”的學(xué)術(shù)報告，介紹了基于他們提出的共形幾何理論的種種圖像處理方法以及在醫(yī)學(xué)圖像中的應(yīng)用實例。

顧險峰教授，現(xiàn)為美國紐約州立大學(xué)石溪分校計算機系和應(yīng)用數(shù)學(xué)系的終身教授，也是清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心訪問教授。曾獲美國國家自然科學(xué)基金CAREER獎，中國國家自然科學(xué)基金海外杰出青年獎（與胡事民教授合作），“華人菲爾茨獎”：晨興應(yīng)用數(shù)學(xué)金獎。丘成桐先生和顧險峰博士團隊，將微分幾何，代數(shù)拓撲，黎曼面理論，偏微分方程與計算機科學(xué)相結(jié)合，創(chuàng)立跨領(lǐng)域?qū)W科“計算共形幾何”，并廣泛應(yīng)用于計算機圖形學(xué)，計算機視覺，幾何建模，無線傳感器網(wǎng)絡(luò)，醫(yī)學(xué)圖像等領(lǐng)域。目前已經(jīng)發(fā)表二百篇余篇國際論文，學(xué)術(shù)專著包括“Computational Conformal Geometry”（計算共形幾何）， “Ricci Flow for Surface Registration and Shape Analysis”等。

顧險峰教授此次出席的圖像計算與數(shù)字醫(yī)學(xué)國際研討會（ISICDM2017）暨智能醫(yī)學(xué)信息處理論壇，是由國際數(shù)字醫(yī)學(xué)會、中華醫(yī)學(xué)會數(shù)字醫(yī)學(xué)分會、中華醫(yī)學(xué)會病理學(xué)分會主辦，電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院承辦。

作為本次大會的獨家媒體，雷鋒網(wǎng)全程見證了大會盛況。

此次會議極具學(xué)科交叉特色，430多位來自信息科學(xué)（含計算機與電子工程等學(xué)科）、數(shù)學(xué)與醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的專家學(xué)者與臨床醫(yī)生聚首一堂，圍繞人工智能+醫(yī)療、醫(yī)學(xué)圖像分析、深度學(xué)習(xí)、虛擬/增強現(xiàn)實等熱點問題開展深入的交流與探討。

中國解剖學(xué)會理事長、國際數(shù)字醫(yī)學(xué)會主席、中華醫(yī)學(xué)會數(shù)字醫(yī)學(xué)分會主任委員、第三軍醫(yī)大學(xué)張紹祥教授（少將）為本次會議的名譽主席，解放軍南京總醫(yī)院影像科主任盧光明教授、中華醫(yī)學(xué)會病理學(xué)分會主任委員、四川大學(xué)華西醫(yī)院步宏教授、中科院自動化所研究員田捷擔(dān)任大會主席。電子科技大學(xué)李純明教授為ISICDM會議的發(fā)起人和程序主席，負責(zé)會議主題的確立、報告專家的邀請與會議內(nèi)容的組織。

以下是雷鋒網(wǎng) AI 科技評論對顧險峰教授報告的圖文編輯：

很高興和大家共同探討。今天我報告的題目是：醫(yī)學(xué)圖像中的幾何方法。

感謝大會組委會的邀請，感謝李純明老師的邀請，感謝各位同學(xué)、學(xué)者、醫(yī)生。

這個工作是和很多人一起完成的，我這里列舉了一些主要的合作者：我的導(dǎo)師丘成桐院士；羅鋒教授，在羅格斯大學(xué)數(shù)學(xué)系；Tony Chan，香港科技大學(xué)校長；Paul Thompson教授，在南加州大學(xué)做腦神經(jīng)科學(xué)；王雅琳教授，在Arizona州立大學(xué)計算機系；Lok Ming Lui 教授，在香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)系；雷娜教授，在大連理工軟件學(xué)院；秦宏教授，Dimitris Samaras 教授、高潔教授、Arie Kaufman教授都是我的同事。

我們知道在幾何上有個埃爾朗根 (Erlangen) 綱領(lǐng)，它是說不同幾何研究不同變換群下的不變量。

在醫(yī)學(xué)中和工程中常用的有四種幾何：

• 拓撲 Topology，它對應(yīng)的就是拓撲同胚變換

• 黎曼幾何（Riemannian Geometry）對應(yīng)的是等距變換，保持黎曼度量不變的變換

• 曲面的微分幾何（Differential Geometry），對應(yīng)的是歐氏空間中的rigid motion，剛體變換

• 我們研究的重點是共形幾何（Conformal Geometry），它是介于拓撲和黎曼幾何之間，比拓撲要硬，比黎曼幾何要軟。

它特別適合研究這三種問題：

• 曲面之間的映射，比如有兩個醫(yī)學(xué)圖像、兩三個器官的表面成像如何進行配準注冊；如果有個動態(tài)變化的曲面，比如心臟在跳動，如何做跟蹤；或者人臉各種各樣表情變化如何做跟蹤。這類問題適合用共形幾何的理論來處理

• 幾何分類。比如有一個器官，要判斷它是否正常，看大腦是否有老年癡呆癥、胰腺形狀是否正常、腫瘤是良性還是惡性，這都屬于幾何分類
  

• 形狀分析。很多很細致的分析，比如給一張人臉，判斷他的表情；給一個器官的表面，如何提取它各方面的特征；

這三類問題的理論根基，我們認為很大部分上仰仗共形幾何。我們把這套理論從純理論變成算法，有算法之后就可以用在很多工程領(lǐng)域、圖形學(xué)、計算機視覺、幾何建模、網(wǎng)絡(luò)、3D打印，當然也包括醫(yī)學(xué)圖像中。今天我主要講的就是在醫(yī)學(xué)圖像方面的應(yīng)用。

從歷史上來說，共形幾何是多個領(lǐng)域的交叉點。大家都學(xué)過復(fù)變函數(shù)，學(xué)過保角變換，可能大家也學(xué)過代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何、代數(shù)曲線，特別是微分幾何和偏微分方程PDE，共形幾何是這些數(shù)學(xué)分支的交叉點。

在我們之前也有很多人研究過計算復(fù)變函數(shù)。我們和前人最大的區(qū)別是，之前的人是做平面區(qū)域之間的保角變換，現(xiàn)在我們是做曲面之間的變換。換句話說，為了做平面之間的變換，只需要研究復(fù)變函數(shù)；但是要做曲面之間的變換的話，用的理論工具就要換成微分幾何加上幾何分析偏微分方程（Geometric PDE）。所以從歷史來看，這是我們和前人的工作理論層面的最大差別。

我們是從2000年開始做的，主要因為這時開始三維數(shù)據(jù)變得非常多，一方面三維掃描技術(shù)有大幅度發(fā)展，人們可以很輕易地得到三維曲面；醫(yī)學(xué)圖像的發(fā)展也非?？?，我們可以得到大量的醫(yī)學(xué)圖像。

這些信息非常容易獲得，但處理起來非常困難。我們可以看一些原始的數(shù)據(jù)。這是我的一個學(xué)生，我把他的三維臉部曲面掃描下來，可以分析他的表情，做動態(tài)的跟蹤。

每張曲面上有300萬個采樣點，每秒鐘可以得到120張動態(tài)曲面，數(shù)據(jù)量非常龐大。

不同的三維曲面，記錄了動態(tài)表情。

采集這些數(shù)據(jù)是很容易的。大家都有了iPhone X之后，得到這樣的數(shù)據(jù)會變得更加廉價。但是分析起來非常困難。比如給你一個高速的動態(tài)的三維曲面序列，如何求它們之間的微分同胚，如何自動精確地找到一一對應(yīng)、如何分析表情的變換，實際上具有非常大的挑戰(zhàn)性。從計算角度講比較困難，從理論角度講也不是很完善。

最簡單的來說，比如給兩副曲面，一張是平靜的臉，一張是帶表情的臉，要如何找有意義的微分同胚。迄今為止機器學(xué)習(xí)是做不了這個的，通過微分幾何倒是有很多方法，所以這個方面還在發(fā)展。

另一方面，隨著GPU的發(fā)展，計算能力空前高漲。一些以前非常困難的幾何偏微分方程的求解變得相對容易，在個人電腦上PC上就可以很容易地進行計算。

總之，一方面由于三維數(shù)據(jù)的獲得非常容易，另一方面由于計算能力的增加，催生了共形幾何這個領(lǐng)域。

這里列舉了一些計算共形幾何領(lǐng)域的基本問題。它們的描述方式比較數(shù)學(xué)化，但大家如果稍微有些數(shù)學(xué)背景的話，就可以知道大量的工程問題、醫(yī)學(xué)問題，最后都可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題。

我大致說一下

• 我們知道所有曲面都是有黎曼度量的，有了黎曼度量之后計算它所對應(yīng)的共同結(jié)構(gòu)；比如給兩個曲面，我們需要判斷它們是否存在保角變換。如果曲面拓撲復(fù)雜的話，兩個曲面之間不一定有保角變換；如果有的話，怎么把它算出來。

• 如果固定曲面的共形結(jié)構(gòu)，如何找到最簡單的黎曼度量。如果找到這個簡單黎曼度量的話很多計算問題可以得到大幅度簡化。

• 如果給了我們想要的目標曲率，如何設(shè)計構(gòu)造一個黎曼度量，和初始度量黎曼共形等價，并且實現(xiàn)這個目標曲率。

• 如果給了兩個拓撲同胚的曲面，給了映射的同倫類，如何找到唯一的映射，使得映射帶來的幾何畸變最小、物理上最自然。

等等諸如此類的基本理論問題。

這些問題，工程上有自己的提法，翻譯成數(shù)學(xué)語言表達以后相對比較明確。歷史上來看，這些問題在共形幾何中都有比較完美的理論解答。

這里的困難在于，第一個如何把實際問題看透，翻譯成數(shù)學(xué)語言；第二個如何把數(shù)學(xué)理論看透，翻譯成計算機語言。

我們也試圖用機器學(xué)習(xí)的方法做其中的一些問題，發(fā)現(xiàn)非常困難?；诮y(tǒng)計的方法通過學(xué)習(xí)，揭示曲面的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和曲面之間的微分同胚，效果并不好；分類的效果相對讓人滿意一些。所以目前這個領(lǐng)域機器學(xué)習(xí)還沒有大規(guī)模的介入，還是基于數(shù)學(xué)方法。

在過去的十多年間我們發(fā)展了相對完備的軟件工具，在座的同學(xué)老師如果有興趣的可以跟我聯(lián)系，我們一起來做研究。

過去我也寫了幾本書，和邱先生一起寫的《計算工程幾何》；還有《離散曲面變分法》。最后這本書在還國內(nèi)買不到，它是講如何應(yīng)用這套理論進行曲面配準和形狀分析。最近我還在寫一本新書，漢語的，打算把《計算共形幾何》的講義寫得更加深入淺出一些，更加工程一些。我會將主要內(nèi)容發(fā)到我的公眾號上，可能有很多缺點和錯誤，希望大家提出寶貴意見。

我們下面介紹幾個概念。

共形映射

這是我的辦公室，我在桌面上放了一個鏡框，照了一張整個辦公室的照片，把照片嵌在鏡框里；大家可以看到鏡框里面還存在二級鏡框，二級鏡框里還有三級鏡框，有無窮多的鏡框嵌套，在無窮級嵌套的內(nèi)部有唯一的不動點。把整個圖像經(jīng)過相似變換，將鏡框內(nèi)部放大成整張圖像，則整個圖像本身是不變的。這種不變相似變換它和它自己復(fù)合，構(gòu)成了一個不變?nèi)海徽麄€平面摳掉不動點，除掉這個群，它的商空間實際是一個拓撲環(huán)面，是一個二維的輪胎曲面。

我們可以把它計算一個保角變換，把左圖變成右圖，映射之后的拓撲發(fā)生巨大變化。左邊的鏡框本來是一個封閉曲線，變換后的鏡框變成了一條開放的螺旋線。本來鏡框外部的世界是真實的世界，鏡框內(nèi)部的世界是虛擬的世界。經(jīng)過變換以后，真實的世界和虛擬的世界混為一談。很多驚恐片、科幻片都是基于這個原則：將現(xiàn)實和夢境混為一談。

仔細觀察，這個映射有一個特別大的特點，變換前后能保持局部形狀不變：變換以后還是能認出來圖中的兔子和畢加索的畫。這個映射從全局來看畸變非常劇烈，拓撲發(fā)生了巨大的變化，但局部形狀并沒有發(fā)生改變。這類變換就是所謂的保角變換，大家在復(fù)變函數(shù)論里應(yīng)該學(xué)過這個概念。

曲面也存在類似的變換。這是米開朗基羅的大衛(wèi)頭像，我們將頭像掃描下來得到了這張三維曲面。我們可以把展開平貼在二維空間的長方形上。

這個映射，第一把彎曲的曲面變成平面，實現(xiàn)了降維，把三維的體在平面上處理，把幾何曲面之間的配準問題變成圖像配準問題。降維可以讓計算大幅簡化。 第二它保持信息不變、保持局部形狀不變。我們可以看到耳朵依舊是耳朵的形狀，眼睛、鼻子、頭發(fā)也是一樣。這種映射在切空間上看，是相似變換；每一點有一個小臨域，臨域到臨域之間的變換是相似變換，相似變換保持形狀不變。但是每一點的相似比不一樣，所以有的地方放大了，有的地方縮小了。鼻子就縮小的很厲害。這種變換就是共形變換，它保持了局部形狀不變。

這張圖顯示的就是共形變換的第一個優(yōu)點，就是降維，把三維變成二維。大家如果對硬件比較熟悉的話，圖像處理可以用 FPGA 來做、用 GPU 做，但是處理三維曲面比較困難。比如大家想把 CNN 從圖像處理變成幾何處理，有幾種方法，一種是把曲面嵌在八叉樹里；另一種就是展在平面上，然后用平面處理的方法來做。今年 SIGGRAPH 就有這方面的論文。把三維曲面變成二維，最自然的方法當然就是這種共形變換。

這里給出它的數(shù)學(xué)定義。有一張三維人臉，經(jīng)過變換以后變成二維圓盤，這是黎曼映照。在人臉上任意畫兩條相交曲線，曲面上的曲線在變換后成為平面上的曲線；原曲線交點切向量之間的交角為 θ，變換后的曲線交點切向量之間交角仍然為 θ，并不改變。曲線無論畫在什么地方，交角都不改變。如果有一個微分同胚滿足這個性質(zhì)，它就可以稱作保角變換。

作為對比我們看一下，把同一張臉映射到同一個平面上。我們在可以在平面圓盤上放許多無窮小圓，然后拉回來看它們在曲面上的形狀。上面一行是保角變換，保持了小圓的形狀不變。下面是一般的微分同胚，它把平面上的無窮小圓，變成了曲面上的無窮小橢圓。

這里看一個demo。這是一張通過掃描得到的三維人臉，通過黎曼映照投到平面上來。我們在平面上放了許多無窮小圓作為它的紋理，拉到三維曲面上以后還是無窮小圓。它的局部保持形狀不變，圓形映射成圓形。

作為對比，我們看一個一般的微分同胚。從平面拉伸到三維曲面以后，圓變成橢圓。這就是微分同胚和保角變換之間的差別。

我們再看下角度的變化，在平面上放上棋盤格。棋盤格每個角都是直角，把它拉回到三維曲面上，我們可以看到每個棋盤格的大小發(fā)生了改變，但從法方向看下去的話，每個交角都還是直角。

作為對比我們再看另一種變換，直角不再被保持。這給了我們保角變換的一個直觀感受。

我們知道曲面到平面區(qū)域的微分同胚有無窮多個，這些微分同胚構(gòu)成的空間是無窮多維，所以很難控制；從曲面到平面的黎曼映照也有無窮多個，但是所有的黎曼映照構(gòu)成的空間只有三維。所以維數(shù)非常有限，只需要在曲面邊界上固定三個點，映射就可以被唯一固定。很多時候你可能想要找一個典范映射，第一行的保角變換就是比較好的選擇；如果你想研究更為廣義的微分同胚，用下方的。共形幾何涵蓋的范圍很廣。共形幾何涵蓋的范圍很廣，其中擬共形變換包括了所有可能的微分同胚。

…………

以下內(nèi)容還有約8000字，包括：

• 構(gòu)成研究框架的另外兩大理論，大一統(tǒng)理論和擬共形映射；

• 精準面部注冊、表情追蹤等 5 個實驗案例；

• X光片的骨骼特征點識別、大腦功能區(qū)域變化追蹤、虛擬腸鏡等 9 項醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域?qū)嶋H應(yīng)用的介紹

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