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| 本文作者： AI研習(xí)社-譯站 | 2021-01-28 14:20 |
譯者：AI研習(xí)社（季一帆）
雙語原文鏈接：NumPy Illustrated: The Visual Guide to NumPy
NumPy是一個(gè)廣泛適用的Python數(shù)據(jù)處理庫，pandas, OpenCV等庫都基于numpy。同時(shí)，在PyTorch、TensorFlow、Keras等深度許欸小框架中，了解numpy將顯著提高數(shù)據(jù)共享和處理能力，甚至無需過多更改就可以在GPU運(yùn)行計(jì)算。
n維數(shù)組是NumPy的核心概念，這樣的好處，盡管一維和而為數(shù)組的處理方式有些差異，但多數(shù)不同維數(shù)組的操作是一樣的。本文將對以下三個(gè)部分展開介紹：
向量——一維數(shù)組
矩陣——二維數(shù)組
3維及更高維數(shù)組
本文受JayAlammar的文章“ A Visual Intro to NumPy”的啟發(fā)，并對其做了更詳細(xì)豐富的介紹。
乍看上去，NumPy數(shù)組與Python列表極其相似。它們都用來裝載數(shù)據(jù)，都能夠快速添加或獲取元素，插入和移除元素則比較慢。
當(dāng)然相比python列表，numpy數(shù)組可以直接進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算：
除此之外，numpy數(shù)組還具有以下特點(diǎn)：
更緊湊，高維時(shí)尤為明顯
向量化后運(yùn)算速度比列表更快
在末尾添加元素時(shí)不如列表高效
元素類型一般比較固定
其中，O(N)表示完成操作所需的時(shí)間與數(shù)組大小成正比（請見Big-O Cheat Sheet），O(1)表示操作時(shí)間與數(shù)組大小無關(guān)（詳見Time Complexity）。
通過Python列表可以創(chuàng)建NumPy數(shù)組，如下將列表元素轉(zhuǎn)化為一維數(shù)組：
注意，確保列表元素類型相同，否則dtype=’object'，將影響運(yùn)算甚至產(chǎn)生語法錯(cuò)誤。
由于在數(shù)組末尾沒有預(yù)留空間以快速添加新元素，NumPy數(shù)組無法像Python列表那樣增長，因此，通常的做法是在變長Python列表中準(zhǔn)備好數(shù)據(jù)，然后將其轉(zhuǎn)換為NumPy數(shù)組，或是使用np.zeros或np.empty預(yù)先分配必要的空間：
通過以下方法可以創(chuàng)建一個(gè)與某一變量形狀一致的空數(shù)組：
不止是空數(shù)組，通過上述方法還可以將數(shù)組填充為特定值：
在NumPy中，還可以通過單調(diào)序列初始化數(shù)組：
如果您需要[0., 1., 2.]這樣的浮點(diǎn)數(shù)組，可以更改arange輸出的類型，即arange(3).astype(float)，但有更好的方法：由于arange函數(shù)對類型敏感，因此參數(shù)為整數(shù)類型，它生成的也是整數(shù)類型，如果輸入float類型arange(3.），則會生成浮點(diǎn)數(shù)。
arange浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)不是非常友好：
上圖中，0.1對我們來說是一個(gè)有限的十進(jìn)制數(shù)，但對計(jì)算機(jī)而言，它是一個(gè)二進(jìn)制無窮小數(shù)，必須四舍五入為一個(gè)近似值。因此，將小數(shù)作為arange的步長可能導(dǎo)致一些錯(cuò)誤?？梢酝ㄟ^以下兩種方式避免如上錯(cuò)誤：一是使間隔末尾落入非整數(shù)步數(shù)，但這會降低可讀性和可維護(hù)性；二是使用linspace，這樣可以避免四舍五入的錯(cuò)誤影響，并始終生成要求數(shù)量的元素。但使用linspace時(shí)尤其需要注意最后一個(gè)的數(shù)量參數(shù)設(shè)置，由于它計(jì)算點(diǎn)數(shù)量，而不是間隔數(shù)量，因此上圖中數(shù)量參數(shù)是11，而不是10。
隨機(jī)數(shù)組的生成如下：
對于數(shù)組數(shù)據(jù)的訪問，numpy提供了便捷的訪問方式：
上圖中，除“fancy indexing”外，其他所有索引方法本質(zhì)上都是`views`：它們并不存儲數(shù)據(jù)，如果原數(shù)組在被索引后發(fā)生更改，則會反映出原始數(shù)組中的更改。
上述所有這些方法都可以改變原始數(shù)組，即允許通過分配新值改變原數(shù)組的內(nèi)容。這導(dǎo)致無法通過切片來復(fù)制數(shù)組：
此外，還可以通過布爾索引從NumPy數(shù)組中獲取數(shù)據(jù)，這意味著可以使用各種邏輯運(yùn)算符：
注意，不可以使用`3 <= a <= 5`這樣的Python“三元”比較。
如上所述，布爾索引是可寫的。如下圖np.where和np.clip兩個(gè)專有函數(shù)。
NumPy的計(jì)算速度是其亮點(diǎn)之一，其向量運(yùn)算操作接近C++級別，避免了Python循環(huán)耗時(shí)較多的問題。NumPy允許像普通數(shù)字一樣操作整個(gè)數(shù)組：
在python中，a//b表示a div b（除法的商），x**n表示 x?
浮點(diǎn)數(shù)的計(jì)算也是如此，numpy能夠?qū)?biāo)量廣播到數(shù)組：
numpy提供了許多數(shù)學(xué)函數(shù)來處理矢量：
向量點(diǎn)乘（內(nèi)積）和叉乘（外積、向量積）如下：
numpy也提供了如下三角函數(shù)運(yùn)算：
數(shù)組整體進(jìn)行四舍五入：
floor向上取整，ceil向下取整，round四舍五入
np.around與np.round是等效的，這樣做只是為了避免 from numpy import *時(shí)與Python aroun的沖突（但一般的使用方式是import numpy as np）。當(dāng)然，你也可以使用a.round()。
numpy還可以實(shí)現(xiàn)以下功能：
以上功能都存在相應(yīng)的nan-resistant變體：例如nansum，nanmax等
在numpy中，排序函數(shù)功能有所閹割：
對于一維數(shù)組，可以通過反轉(zhuǎn)結(jié)果來解決reversed函數(shù)缺失的不足，但在2維數(shù)組中該問題變得棘手。
不同于Python列表，NumPy數(shù)組沒有索引方法。
index()中的方括號表示j或i&j可以省略
可以通過np.where(a==x)[0] [0]查找元素，但這種方法很不pythonic，哪怕需要查找的項(xiàng)在數(shù)組開頭，該方法也需要遍歷整個(gè)數(shù)組。
使用Numba實(shí)現(xiàn)加速查找，next((i[0] for i, v in np.ndenumerate(a) if v==x), -1)，在最壞的情況下，它的速度要比where慢。
如果數(shù)組是排好序的，使用v = np.searchsorted(a, x); return v if a[v]==x else -1時(shí)間復(fù)雜度為O(log N)，但在這之前，排序的時(shí)間復(fù)雜度為O(N log N)。
實(shí)際上，通過C實(shí)現(xiàn)加速搜索并不是困難，問題是浮點(diǎn)數(shù)據(jù)比較。
np.allclose(a, b)用于容忍誤差之內(nèi)的浮點(diǎn)數(shù)比較。
np.allclose假定所有比較數(shù)字的尺度為1。如果在納秒級別上，則需要將默認(rèn)atol參數(shù)除以1e9：np.allclose(1e-9,2e-9, atol=1e-17)==False。
math.isclose不對要比較的數(shù)字做任何假設(shè)，而是需要用戶提供一個(gè)合理的abs_tol值（np.allclose默認(rèn)的atol值1e-8足以滿足小數(shù)位數(shù)為1的浮點(diǎn)數(shù)比較，即math.isclose(0.1+0.2–0.3, abs_tol=1e-8)==True。
此外，對于絕隊(duì)偏差和相對偏差，np.allclose依然存在一些問題。例如，對于某些值a、b， allclose(a,b)!=allclose(b,a)，而在math.isclose中則不存在這些問題。查看GitHub上的浮點(diǎn)數(shù)據(jù)指南和相應(yīng)的NumPy問題了解更多信息。
過去，NumPy中曾有一個(gè)專用的matrix類，但現(xiàn)在已被棄用，因此在下文中矩陣和2維數(shù)組表示同一含義。
矩陣的初始化語法與向量類似：
如上要使用雙括號，因?yàn)榈诙€(gè)位置參數(shù)（可選）是為dtype（也接受整數(shù)）保留的。
隨機(jī)矩陣的生成也與向量類似：
二維數(shù)組的索引語法要比嵌套列表更方便：
“view”表示數(shù)組切片時(shí)并未進(jìn)行任何復(fù)制，在修改數(shù)組后，相應(yīng)更改也將反映在切片中。
在求和等操作中，NumPy可以實(shí)現(xiàn)跨行或跨列的操作。為了適用任意維數(shù)的數(shù)組，NumPy引入了axis的概念。axis參數(shù)的值實(shí)際上就是維度數(shù)量，如第一個(gè)維是axis=0 ，第二維是axis=1，依此類推。因此，在2維數(shù)組中，axis=0指列方向，axis=1指行方向。
除了+，-，*，/，//和**等數(shù)組元素的運(yùn)算符外，numpy提供了@運(yùn)算符計(jì)算矩陣乘積：
類似前文介紹的標(biāo)量廣播機(jī)制，numpy同樣可以通過廣播機(jī)制實(shí)現(xiàn)向量與矩陣，或兩個(gè)向量之間的混合運(yùn)算：
注意，上圖最后一個(gè)示例是對稱的逐元素乘法。使用矩陣乘法@可以計(jì)算非對稱線性代數(shù)外積，兩個(gè)矩陣互換位置后計(jì)算內(nèi)積：
根據(jù)前文可知，在2維數(shù)組中，行向量和列向量被區(qū)別對待。通常NumPy會盡可能使用單一類型的1維數(shù)組（例如，2維數(shù)組a的第j列a[:, j]是1維數(shù)組）。默認(rèn)情況下，一維數(shù)組在2維操作中被視為行向量，因此，將矩陣乘行向量時(shí)，使用形狀(n,)或(1,n)的向量結(jié)果一致。有多種方法可以從一維數(shù)組中得到列向量，但并不包括transpose：
使用newaxis更新數(shù)組形狀和索引可以將1維數(shù)組轉(zhuǎn)化為2維列向量：
其中，-1表示在reshape是該維度自動決定，方括號中的None等同于np.newaxis，表示在指定位置添加一個(gè)空軸。
因此，NumPy中共有三種類型的向量：1維數(shù)組，2維行向量和2維列向量。以下是兩兩類型轉(zhuǎn)換圖：
根據(jù)廣播規(guī)則，一維數(shù)組被隱式解釋為二維行向量，因此通常不必在這兩個(gè)數(shù)組之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對應(yīng)圖中陰影化區(qū)域。
嚴(yán)格來說，除一維外的所有數(shù)組的大小都是一個(gè)向量（如a.shape == [1,1,1,5,1,1]），因此numpy的輸入類型是任意的，但上述三種最為常用?？梢允褂胣p.reshape將一維矢量轉(zhuǎn)換為這種形式，使用np.squeeze可將其恢復(fù)。這兩個(gè)功能都通過view發(fā)揮作用。
矩陣的拼接有以下兩種方式：
圖示操作僅適用于矩陣堆疊或向量堆疊，而一維數(shù)組和矩陣的混合堆疊只有通過vstack才可實(shí)現(xiàn)，hstack會導(dǎo)致維度不匹配錯(cuò)誤。因?yàn)榍拔奶岬綄⒁痪S數(shù)組作為行向量，而不是列向量。為此，可以將其轉(zhuǎn)換為行向量，或使用專門的column_stack函數(shù)執(zhí)行此操作：
與stack對應(yīng)的是split：
矩陣復(fù)制有兩種方式：tile類似粘貼復(fù)制；repeat相當(dāng)于分頁打印。
delete可以刪除特定的行或列：
相應(yīng)插入操作為insert：
與hstack一樣，append函數(shù)無法自動轉(zhuǎn)置1D數(shù)組，因此需要重新調(diào)整向量形狀或添加維數(shù)，或者使用column_stack：
如果僅僅是向數(shù)組的邊界添加常量值，pad函數(shù)是足夠的：
廣播機(jī)制使得meshgrids變得容易。例如需要下圖所示（但尺寸大得多）的矩陣：
上述兩種方法由于使用了循環(huán)，因此都比較慢。MATLAB通過構(gòu)建meshgrid處理這種問題。
meshgrid函數(shù)接受任意一組索引，通過mgrid切片和indices索引生成完整的索引范圍，然后，fromfunction函數(shù)根據(jù)I和J實(shí)現(xiàn)運(yùn)算。
在NumPy中有一種更好的方法，無需在內(nèi)存中存儲整個(gè)I和J矩陣（雖然meshgrid已足夠優(yōu)秀，僅存儲對原始向量的引用），僅存儲形狀矢量，然后通過廣播規(guī)實(shí)現(xiàn)其余內(nèi)容的處理：
如果沒有indexing ='ij'參數(shù)，那么meshgrid將更改參數(shù)的順序，即J,I=np.meshgrid(j,i)——一種用于可視化3D繪圖的“ xy”模式（祥見該文檔）。
除了在二維或三維網(wǎng)格上初始化函數(shù)外，網(wǎng)格還可以用于索引數(shù)組：
以上方法在稀疏網(wǎng)格中同樣適用。
就像sum函數(shù)，numpy提供了矩陣不同軸上的min/max, argmin/argmax, mean/median/percentile, std/var等函數(shù)。
np.amin等同于np.min，這樣做同樣是為了避免from numpy import *可能的歧義。
2維及更高維中的argmin和argmax函數(shù)分別返回最小和最大值的索引，通過unravel_index函數(shù)可以將其轉(zhuǎn)換為二維坐標(biāo)：
雖然在前文中，axis參數(shù)適用于不同函數(shù)，但在二維數(shù)組排序中影響較小：
你通常不需要上述這樣的排序矩陣，axis不是key參數(shù)的替代。但好在NumPy提供了其他功能，這些功能允許按一列或幾列進(jìn)行排序：
1、a[a [:,0] .argsort()]表示按第一列對數(shù)組進(jìn)行排序：
其中，argsort返回排序后的原始數(shù)組的索引數(shù)組。
可以重復(fù)使用該方法，但千萬不要搞混：
a = a[a[:,2].argsort()]
a = a[a[:,1].argsort(kind='stable')]
a = a[a[:,0].argsort(kind='stable')]
2、函數(shù)lexsort可以像上述這樣對所有列進(jìn)行排序，但是它總是按行執(zhí)行，并且排序的行是顛倒的（即從下到上），其用法如下：
a[np.lexsort(np.flipud(a[2,5].T))]，首先按第2列排序，然后按第5列排序；a[np.lexsort(np.flipud(a.T))]，從左到右依次排序各列。
其中，flipud沿上下方向翻轉(zhuǎn)矩陣（沿axis = 0方向，與a [::-1，...]等效，其中...表示“其他所有維度”），注意區(qū)分它與fliplr，fliplr用于1維數(shù)組。
3、sort函數(shù)還有一個(gè)order參數(shù)，但該方法極不友好，不推薦學(xué)習(xí)。
4、在pandas中排序也是不錯(cuò)的選擇，因?yàn)樵趐andas中操作位置確定，可讀性好且不易出錯(cuò)：
- pd.DataFrame(a).sort_values(by=[2,5]).to_numpy()，先按第2列排序，再按第5列排序。
-pd.DataFrame(a).sort_values().to_numpy()，按從左到右的順序?qū)λ辛羞M(jìn)行排序。
通過重塑1維向量或轉(zhuǎn)換嵌套Python列表來創(chuàng)建3維數(shù)組時(shí)，索引分別對應(yīng)(z,y,x)。索引z是平面編號，(y,x)坐標(biāo)在該平面上移動：
通過上述索引順序，可以方便的保留灰度圖像，a[i]表示第i個(gè)圖像。
但這樣的索引順序并不具有廣泛性，例如在處理RGB圖像時(shí)，通常使用(y,x,z)順序：首先是兩個(gè)像素坐標(biāo)，然后才是顏色坐標(biāo)（Matplotlib中的RGB，OpenCV中的BGR）：
這樣可以方便地定位特定像素，如a[i,j]給出像素(i,j)的RGB元組。
因此，幾何形狀的創(chuàng)建實(shí)際取決于你對域的約定：
顯然，hstack，vstack或dstack之類的NumPy函數(shù)并不一定滿足這些約定，其默認(rèn)的索引順序是(y,x,z)，RGB圖像順序如下：
如果數(shù)據(jù)不是這樣的布局，使用concatenate命令可以方便的堆疊圖像，并通過axis參數(shù)提供索引號：
如果不考慮軸數(shù)，可以將數(shù)組轉(zhuǎn)換hstack和相應(yīng)形式：
這種轉(zhuǎn)換非常方便，該過程只是混合索引的順序重排，并沒有實(shí)際的復(fù)制操作。
通過混合索引順序可實(shí)現(xiàn)數(shù)組轉(zhuǎn)置，掌握該方法將加深你對3維數(shù)據(jù)的了解。根據(jù)確定的軸順序，轉(zhuǎn)置數(shù)組平面的命令有所不同：對于通用數(shù)組，交換索引1和2，對于RGB圖像交換0和1：
注意，transpose（a.T）的默認(rèn)軸參數(shù)會顛倒索引順序，這不同于上述述兩種索引順序。
廣播機(jī)制同樣適用多維數(shù)組，更多詳細(xì)信息可參閱筆記“ NumPy中的廣播”。
最后介紹einsum(Einstein summation)函數(shù)，這將使你在處理多維數(shù)組時(shí)避免很多Python循環(huán)，代碼更為簡潔：
該函數(shù)對重復(fù)索引的數(shù)組求和。在一般情況下，使用np.tensordot(a,b,axis=1)就可以，但在更復(fù)雜的情況下，einsum速度更快，讀寫更容易。
如果你想看看自己的NumPy水平到底如何，可以在GitHub上進(jìn)行練習(xí)——例如100個(gè)NumPy練習(xí)。
對于本文未介紹到的NumPy常用功能，歡迎各位讀者通過reddi、hackernews給我留言，我將進(jìn)一步完善本文！
Scott Sievert, NumPy GPU acceleration
Jay Alammar, A Visual Intro to NumPy and Data Representation
NumPy Issue #14989, Reverse param in ordering functions
NumPy Issue #2269, First nonzero element
NumPy Issue #10161, numpy.isclose vs math.isclose
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