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| 本文作者： AI研習(xí)社-譯站 | 2020-09-21 18:08 |
字幕組雙語原文：蒙特卡洛模擬（Python）深入教程
英語原文：Monte Carlo Simulation An In-depth Tutorial with Python
蒙特卡羅方法是一種使用隨機(jī)數(shù)和概率來解決復(fù)雜問題的技術(shù)。 蒙特卡羅模擬或概率模擬是一種技術(shù)，用于了解金融部門、項(xiàng)目管理、成本和其他預(yù)測機(jī)器學(xué)習(xí)模型中風(fēng)險(xiǎn)和不確定性的影響。
風(fēng)險(xiǎn)分析幾乎是我們做出的每一個(gè)決定的一部分，因?yàn)槲覀冊谏钪薪?jīng)常面臨不確定性、模糊性和變化無常。 此外，即使我們擁有前所未有的信息獲取渠道，我們也不能準(zhǔn)確預(yù)測未來。
蒙特卡洛模擬使我們能夠看到?jīng)Q策的所有可能結(jié)果，并評估風(fēng)險(xiǎn)影響，從而在不確定的情況下更好地做出決策。
在本文中，我們將通過五個(gè)不同的例子來理解蒙特卡羅模擬方法。
資源: Google Colab Implementation | GitHub Repository
金融
項(xiàng)目管理
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工程學(xué)
研究和開發(fā)
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石油和天然氣公司
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環(huán)境
還有其他
拋硬幣示例
用圓和平方估計(jì)PI
三門問題
蒲豐投針問題
為什么賭場總是賺的？
拋硬幣中獎(jiǎng)的概率是1/2。但是，我們有沒有辦法從實(shí)驗(yàn)上證明這一點(diǎn)呢？ 在這個(gè)例子中，我們將使用蒙特卡羅方法迭代地模擬拋硬幣5000次，以找出為什么頭部或尾巴的概率總是1/2。如果我們重復(fù)拋硬幣很多很多次，那么我們可以在概率值的準(zhǔn)確答案上獲得更高的精確度。在這個(gè)例子中，我們將使用Monte-Carlo方法反復(fù)模擬拋硬幣5000次，以找出頭部或尾部的概率始終是1/2的概率。
圖2：正面和反面，數(shù)學(xué)表示。
在拋硬幣時(shí)：
圖3：正面和反面硬幣的公式示例。
接下來，我們將用蒙特卡羅方法對這個(gè)公式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)證明。
1.導(dǎo)入所需的庫：
圖4：為我們的拋硬幣示例導(dǎo)入所需的庫。
2.投幣功能：
圖5：一個(gè)簡單的函數(shù)，將結(jié)果隨機(jī)排列在0和1之間，頭部為0，尾部為1。
3.檢查函數(shù)輸出：
圖6：運(yùn)行Coin_Flip()函數(shù)
4.主要功能：
圖7：計(jì)算概率并將概率值附加到結(jié)果。
5.調(diào)用main函數(shù)：
圖8：調(diào)用Monte Carlo主函數(shù)，并繪制最終值。
如圖8所示，我們顯示在5,000次迭代之后，獲得尾部的概率為0.502。 因此，這就是我們可以如何使用蒙特卡羅模擬來通過實(shí)驗(yàn)找到概率的方法。
圖9：圓形和正方形的簡單面積。
圖10：分別計(jì)算圓形和正方形的面積。
要估計(jì)PI的值，我們需要正方形的面積和圓的面積。 為了找到這些區(qū)域，我們將在表面上隨機(jī)放置點(diǎn)，并計(jì)算落在圓內(nèi)的點(diǎn)和落在正方形內(nèi)的點(diǎn)。 這將給我們一個(gè)估計(jì)的面積。 因此，我們將使用點(diǎn)數(shù)作為面積，而不是使用實(shí)際面積。
在下面的代碼中，我們使用Python的Turtle模塊來查看點(diǎn)的隨機(jī)放置。
1.導(dǎo)入需要的庫
圖10：為我們的π示例導(dǎo)入所需的庫。
2.可視化這些點(diǎn)：
圖11：繪制圖形。
3.初始化部分必填數(shù)據(jù)：
圖12：初始化數(shù)據(jù)值。
4.主要功能：
圖13：實(shí)現(xiàn)主功能。
5.繪制數(shù)據(jù)：
圖14：繪制數(shù)據(jù)值。
6.輸出
圖15：使用蒙特卡羅方法的π近似。
圖16：值的數(shù)據(jù)可視化。
圖17：值的數(shù)據(jù)可視化。
如圖17所示，我們可以看到，經(jīng)過5000次迭代后，我們可以得到PI的近似值。 另外，請注意，隨著迭代次數(shù)的增加，估計(jì)誤差也呈指數(shù)下降。
假設(shè)你正在參加一個(gè)游戲節(jié)目，你可以從三扇門中選擇一扇：一扇門后面是一輛汽車；另一扇門后面是山羊。 你選了一扇門，假設(shè)是1號門，主人，誰知道門后面有什么，就打開另一扇門，比如說3號門，里面有一只山羊。 主人然后問你：你是堅(jiān)持自己的選擇，還是選擇另一扇門？
選擇不同的門對你有好處嗎？ 事實(shí)證明，從概率上說，打開門對我們有利。具體分析：最初，對于所有的三個(gè)門，得到車的概率(P)是相同的(P = 1/3)。
圖18：三個(gè)門的模擬，展示了每個(gè)可能的結(jié)果。
現(xiàn)在假設(shè)參賽者選擇了門1。接下來，主人打開第三扇門，里面有一只山羊。接下來，主持人問參賽者是否要換門？我們將看到為什么轉(zhuǎn)換門更有利：
圖19：門的圖示結(jié)果。
在圖19中，我們可以看到在主人打開門3之后，擁有一輛車的最后兩個(gè)門的概率增加到2/3。現(xiàn)在我們知道第三扇門有一只山羊，第二扇門有一輛車的概率增加到2/3。因此，換門更為有利?，F(xiàn)在我們將使用蒙特卡羅方法來多次執(zhí)行這個(gè)測試案例，并通過實(shí)驗(yàn)的方式找出它的概率。
1. Import所需庫:
圖20: 導(dǎo)入所需庫。
2. 初始化數(shù)據(jù)：
圖21: 初始化代表門的枚舉變量和存儲(chǔ)概率值的列表。
3. Main函數(shù)：
圖22: 用蒙特卡洛模擬來實(shí)現(xiàn)主函數(shù)。
4. 調(diào)用main函數(shù)：
圖23: 調(diào)用主函數(shù)模擬1000次博弈。
5. 輸出：
圖24: 得到堅(jiān)持自己的選擇或換門的近似獲勝概率。
在圖24中，我們發(fā)現(xiàn)在1000次模擬后，如果我們換門，獲勝概率是0.669。因此，我們確信在本例中換門對我們更有利。
法國貴族Georges-Louis Leclerc,即蒲豐公爵在1777年提出了這樣一個(gè)問題[2] [3]：
若在一張繪有等距平行線的紙上隨意拋一根短針，求針和任意一條線相交的概率。
概率取決于方格紙的線間距(d)，和針長度(l)——或者說，它取決于l/d的比值。在這個(gè)例子里，我們可以認(rèn)為針長度l≤d。簡而言之，我們假設(shè)了針不能同時(shí)相交于兩條不同的線。令人驚訝的是，蒲豐針問題的答案與PI相關(guān)。
這里，我們將使用用蒙特卡洛法來解蒲豐投針問題，順便估計(jì)出PI的值。不過在此之前，我們要先展示一下解法是如何推導(dǎo)出來的，這樣會(huì)更有趣。
如果一根長為l的短針落在一張紙上，而紙上畫有距離d≥l的等距線，那么針與任一條線相交的概率為:
圖25: 蒲豐投針定理。
圖26: 蒲豐投針問題的可視化。
首先，我們需要統(tǒng)計(jì)出與任意垂線相交的針的數(shù)量。若針與任意一條線相交，對于特定的θ值，針與垂線相交的最大和最小可能值為：
最大可能值:
圖27: 最大概率值。
最小可能值:
圖28: 最小可能值。
因此, 對于特定的θ值，針在垂線上的概率是:
圖29: 針與垂線相交的概率公式。
這個(gè)概率公式局限于特定θ值，在本實(shí)驗(yàn)中，θ的范圍是0到pi/2。所以，我們需要對所有的θ值做一個(gè)積分，得到投針相交的實(shí)際概率。
圖 30: 對所有θ值積分的投針相交概率公式。
圖 31: PI的估計(jì)值。
接下來，我們要用上面的公式來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)求得PI值。
圖 32: 求PI值。
現(xiàn)在，因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道了l和d的值，所以只要求得了P的值，我們就可以推知PI的值。而要得到概率P，必須要知道相交針數(shù)和總針數(shù), 這里的總針數(shù)是已知的。
下圖是計(jì)算相交針數(shù)的直觀圖解。
圖33: 可視化表示如何計(jì)算針的數(shù)量。
Import 所需的庫:
圖34: 導(dǎo)入所需庫。
2. Main 函數(shù):
圖35: 用蒙特卡洛方法模擬蒲豐投針。
3. 調(diào)用main函數(shù):
圖36: 調(diào)用main函數(shù)模擬蒲豐投針。
4. 輸出:
圖 37: 使用蒙特卡洛方法模擬100次投針的數(shù)據(jù)。
如圖37所示，經(jīng)過100次的模擬，蒙特卡洛法就能得出一個(gè)非常接近PI的值。
圖源: Pexels
賭場是怎么賺錢的？ 訣竅很簡單--“你玩得越多，他們賺的就越多?！?讓我們通過一個(gè)簡單的蒙特卡羅模擬示例來看看這是如何工作的。
考慮一個(gè)假想的游戲，玩家必須從一袋籌碼中選擇一個(gè)籌碼。
規(guī)則：
袋子里有數(shù)字從1到100的籌碼。
用戶可以押注于偶數(shù)或奇數(shù)籌碼。
在這個(gè)游戲中，10和11是特殊的數(shù)字。 如果我們賭偶數(shù)，那么10就算奇數(shù)，如果我們賭賠率，那么11就算偶數(shù)。
如果我們賭偶數(shù)，我們得了10，那么我們就輸了。
如果我們賭的是奇數(shù)，我們得了11，那么我們就輸了。
如果我們以賠率下注，我們獲勝的概率為49/100。 獲勝的概率為51/100。 因此，對于一個(gè)奇數(shù)下注，彩池優(yōu)勢為= 51 / 100–49 / 100 = 200/10000 = 0.02 = 2％
如果我們打賭偶數(shù)，則用戶獲勝的概率為49/100。 獲勝的概率為51/100。 因此，對于一個(gè)奇數(shù)下注，彩池優(yōu)勢為= 51 / 100–49 / 100 = 200/10000 = 0.02 = 2％
綜上所述，每下注1美元，就會(huì)有0.02美元下注。 相比之下，輪盤上最低的單一0優(yōu)勢是2.5％。 因此，我們可以肯定，與輪盤賭相比，您在假想的游戲中獲勝的機(jī)會(huì)更大。
Import所需的庫:
圖38: 導(dǎo)入賭場模擬所需的庫。
2. 玩家下注:
圖39: 在下注奇數(shù)或偶數(shù)。
3. Main 函數(shù):
圖 40: 使用蒙特卡洛方法模擬賭場行為。
4. 最終輸出:
圖41: 計(jì)算并展示計(jì)算結(jié)果。
5. 模擬1000次試試:
圖 42: 模擬1000次。
6. 下注數(shù) = 5:
圖43: 下注5次時(shí)的結(jié)果可視化。
7. 下注數(shù) = 10:
圖44: 下注10次時(shí)的結(jié)果可視化。
8. 下注數(shù) = 1000:
圖45: 下注1000次時(shí)的結(jié)果可視化。
9. 下注數(shù) = 5000:
圖46: 下注5000次時(shí)的結(jié)果可視化。
10. 下注數(shù) = 10000:
圖47: 下注10000次時(shí)的結(jié)果可視化。
從上面的實(shí)驗(yàn)中，我們可以看到，如果玩家在賭博中下注較少，那么有得賺的機(jī)會(huì)就比較大。有時(shí)候?qū)嶒?yàn)會(huì)得到負(fù)數(shù)，這意味著玩家輸?shù)脙A家蕩產(chǎn)負(fù)債累累，而不是單車變路虎。
請注意, 這些比例源于為促進(jìn)理解的非真實(shí)場景，認(rèn)不賭為贏。
結(jié)論:
就像任何預(yù)測模型一樣 模擬結(jié)果只有我們的估計(jì)值才是好的 重要的是要記住，蒙特卡洛模擬只代表概率而不是確定性。盡管如此，在預(yù)測未知的未來時(shí)，蒙特卡洛模擬是一個(gè)有價(jià)值的工具。
聲明：本文所表達(dá)的觀點(diǎn)僅代表作者本人，不代表CMU的觀點(diǎn)。這些文字并非為最終成品，僅為當(dāng)下思考記錄以促進(jìn)學(xué)習(xí)和交流。
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