雷鋒網(wǎng) AI 科技評論按，本文作者張皓，目前為南京大學(xué)計算機(jī)系機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)挖掘所（LAMDA）碩士生，研究方向?yàn)橛嬎銠C(jī)視覺和機(jī)器學(xué)習(xí)，特別是視覺識別和深度學(xué)習(xí)。

個人主頁：http://lamda.nju.edu.cn/zhangh/。該文為其給雷鋒網(wǎng) AI 科技評論的獨(dú)家供稿，未經(jīng)許可禁止轉(zhuǎn)載。

摘要

支持向量機(jī) (SVM) 是一個非常經(jīng)典且高效的分類模型。但是，支持向量機(jī)中涉及許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，并需要比較強(qiáng)的凸優(yōu)化基礎(chǔ)，使得有些初學(xué)者雖下大量時間和精力研讀，但仍一頭霧水，最終對其望而卻步。本文旨在從零構(gòu)建支持向量機(jī)，涵蓋從思想到形式化，再簡化，最后實(shí)現(xiàn)的完整過程，并展現(xiàn)其完整思想脈絡(luò)和所有公式推導(dǎo)細(xì)節(jié)。本文力圖做到邏輯清晰而刪繁就簡，避免引入不必要的概念、記號等。此外，本文并不需要讀者有凸優(yōu)化的基礎(chǔ)，以減輕讀者的負(fù)擔(dān)。對于用到的優(yōu)化技術(shù)，在文中均有介紹。

盡管現(xiàn)在深度學(xué)習(xí)十分流行，了解支持向量機(jī)的原理，對想法的形式化、簡化，及一步步使模型更一般化的過程，及其具體實(shí)現(xiàn)仍然有其研究價值。另一方面，支持向量機(jī)仍有其一席之地。相比深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，支持向量機(jī)特別擅長于特征維數(shù)多于樣本數(shù)的情況，而小樣本學(xué)習(xí)至今仍是深度學(xué)習(xí)的一大難題。

1. 線性二分類模型

給定一組數(shù)據(jù)，其中，二分類任務(wù)的目標(biāo)是希望從數(shù)據(jù)中學(xué)得一個假設(shè)函數(shù) h: R → {?1,1}，使得 h(x_i) =y_i，即

用一個更簡潔的形式表示是

更進(jìn)一步，線性二分類模型認(rèn)為假設(shè)函數(shù)的形式是基于對特征 xi 的線性組合，即

定理 1. 線性二分類模型的目標(biāo)是找到一組合適的參數(shù) (w, b)，使得

即，線性二分類模型希望在特征空間找到一個劃分超平面，將屬于不同標(biāo)記的樣本分開。

證明.

2. 線性支持向量機(jī)

線性支持向量機(jī) (SVM) [4]也是一種線性二分類模型，也需要找到滿足定理 1 約束的劃分超平面，即 (w, b)。由于能將樣本分開的超平面可能有很多，SVM 進(jìn)一步希望找到離各樣本都比較遠(yuǎn)的劃分超平面。

當(dāng)面對對樣本的隨機(jī)擾動時，離各樣本都比較遠(yuǎn)的劃分超平面對擾動的容忍能力比較強(qiáng)，即不容易因?yàn)闃? 本的隨機(jī)擾動使樣本穿越到劃分超平面的另外一側(cè)而產(chǎn)生分類錯誤。因此，這樣的劃分超平面對樣本比較穩(wěn)健，不容易過擬合。另一方面，離各樣本都比較遠(yuǎn)的劃分超平面不僅可以把正負(fù)樣本分開，還可以以比較大的確信度將所有樣本分開，包括難分的樣本，即離劃分超平面近的樣本。

2.1 間隔

在支持向量機(jī)中，我們用間隔 (margin) 刻畫劃分超平面與樣本之間的距離。在引入間隔之前，我們需要 先知道如何計算空間中點(diǎn)到平面的距離。

定義 1 (間隔 γ ). 間隔表示距離劃分超平面最近的樣本到劃分超平面距離的兩倍，即

也就是說，間隔表示劃分超平面到屬于不同標(biāo)記的最近樣本的距離之和。

定理 3. 線性支持向量機(jī)的目標(biāo)是找到一組合適的參數(shù)(w, b)，使得

即，線性支持向量機(jī)希望在特征空間找到一個劃分超平面，將屬于不同標(biāo)記的樣本分開，并且該劃分超平面距離各樣本最遠(yuǎn)。

證明. 帶入間隔定義即得。

2.2 線性支持向量機(jī)基本型

定理 3 描述的優(yōu)化問題十分復(fù)雜，難以處理。為了能在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用，我們希望能對其做一些簡化，使其變 為可以求解的、經(jīng)典的凸二次規(guī)劃 (QP) 問題。

定義 2 (凸二次規(guī)劃). 凸二次規(guī)劃的優(yōu)化問題是指目標(biāo)函數(shù)是凸二次函數(shù)，約束是線性約束的一類優(yōu)化問題。

由于對 (w, b) 的放縮不影響解，為了簡化優(yōu)化問題，我們約束 (w, b) 使得

推論 6. 線性支持向量機(jī)基本型中描述的優(yōu)化問題屬于二次規(guī)劃問題，包括 d + 1 個優(yōu)化變量，m 項約束。

證明. 令

代入公式 10 即得。

3. 對偶問題

現(xiàn)在，我們可以通過調(diào)用現(xiàn)成的凸二次規(guī)劃軟件包來求解定理 5 描述的優(yōu)化問題。不過，通過借助拉格朗 日 (Lagrange) 函數(shù)和對偶 (dual) 問題，我們可以將問題更加簡化。

3.1 拉格朗日函數(shù)與對偶形式

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)是求解帶約束優(yōu)化問題的重要方法。

證明.

推論 8 (KKT 條件). 公式 21 描述的優(yōu)化問題在最優(yōu)值處必須滿足如下條件。

證明. 由引理 7 可知，u 必須滿足約束，即主問題可行。對偶問題可行是公式 21 描述的優(yōu)化問題的約束項。α_ig_i(u) = 0 是在主問題和對偶問題都可行的條件下的最大值。

定義 4 (對偶問題). 定義公式 19 描述的優(yōu)化問題的對偶問題為

引理 10 (Slater 條件). 當(dāng)主問題為凸優(yōu)化問題，即 f 和 g_i 為凸函數(shù)，h_j 為仿射函數(shù)，且可行域中至少有一點(diǎn)使不等式約束嚴(yán)格成立時，對偶問題等價于原問題。

證明. 此證明已超出本文范圍，感興趣的讀者可參考 [2]。

3.2 線性支持向量機(jī)對偶型

線性支持向量機(jī)的拉格朗日函數(shù)為

證明. 因?yàn)楣?26 內(nèi)層對 (w,b) 的優(yōu)化屬于無約束優(yōu)化問題，我們可以通過令偏導(dǎo)等于零的方法得到 (w,b)的最優(yōu)值。

將其代入公式 26，消去 (w, b)，即得。

推論 13. 線性支持向量機(jī)對偶型中描述的優(yōu)化問題屬于二次規(guī)劃問題，包括 m 個優(yōu)化變量，m + 2 項約束。

證明. 令

代入公式 10 即得。其中，e_i 是第 i 位置元素為 1，其余位置元素為 0 的單位向量。我們需要通過兩個不等式約束和來得到一個等式約束。

3.3 支持向量

定理 14 (線性支持向量機(jī)的 KKT 條件). 線性支持向量機(jī)的 KKT 條件如下。

代入引理 8 即得。

定義 5 (支持向量). 對偶變量 α_i > 0 對應(yīng)的樣本。

引理 15. 線性支持向量機(jī)中，支持向量是距離劃分超平面最近的樣本，落在最大間隔邊界上。

定理 16. 支持向量機(jī)的參數(shù) (w, b) 僅由支持向量決定，與其他樣本無關(guān)。

證明. 由于對偶變量 α_i > 0 對應(yīng)的樣本是支持向量，

其中 SV 代表所有支持向量的集合，b 可以由互補(bǔ)松弛算出。對于某一支持向量 x_s 及其標(biāo)記 y_s，由于

實(shí)踐中，為了得到對 b 更穩(wěn)健的估計，通常使用對所有支持向量求解得到 b 的平均值。

推論 17. 線性支持向量機(jī)的假設(shè)函數(shù)可表示為

證明. 代入公式 35 即得。

4. 核函數(shù)

至此，我們都是假設(shè)訓(xùn)練樣本是線性可分的。即，存在一個劃分超平面能將屬于不同標(biāo)記的訓(xùn)練樣本分開。但在很多任務(wù)中，這樣的劃分超平面是不存在的。支持向量機(jī)通過核技巧 (kernel trick) 來解決樣本不是線性可分的情況 [1]。

4.1 非線性可分問題

既然在原始的特征空間不是線性可分的，支持向量機(jī)希望通過一個映射，使得數(shù)據(jù)在新的空間是線性可分的。

引理 18. 當(dāng) d 有限時，一定存在，使得樣本在空間中線性可分.

證明. 此證明已超出本文范圍，感興趣的讀者可參考計算學(xué)習(xí)理論中打散 (shatter) 的相應(yīng)部分 [16]。

令 φ(x) 代表將樣本 x 映射到中的特征向量，參數(shù) w 的維數(shù)也要相應(yīng)變?yōu)?img alt="從零推導(dǎo)支持向量機(jī) (SVM)" src="https://static.leiphone.com/uploads/new/images/20190207/5c5c3064dee3d.png?imageView2/2/w/740"/>維，則支持向量機(jī)的基本型和對偶型相應(yīng)變?yōu)椋?/p>

其中，基本型對應(yīng)于+ 1 個優(yōu)化變量，m 項約束的二次規(guī)劃問題；對偶型對應(yīng)于 m 個優(yōu)化變量，m + 2 項約束的二次規(guī)劃問題。

4.2 核技巧

注意到，在支持向量機(jī)的對偶型中，被映射到高維的特征向量總是以成對內(nèi)積的形式存在，即

如果先計算特征在空間的映射，再計算內(nèi)積，復(fù)雜度是。當(dāng)特征被映射到非常高維的空間，甚至是無窮維空間時，這將會是沉重的存儲和計算負(fù)擔(dān)。

核技巧旨在將特征映射和內(nèi)積這兩步運(yùn)算壓縮為一步, 并且使復(fù)雜度由降為。即，核技巧希望構(gòu)造一個核函數(shù) κ(x_i,x_j)，使得，并且 κ(xi,xj) 的計算復(fù)雜度是。

4.3 核函數(shù)選擇

通過向高維空間映射及核技巧，我們可以高效地解決樣本非線性可分問題。但面對一個現(xiàn)實(shí)任務(wù)，我們很 難知道應(yīng)該具體向什么樣的高維空間映射，即應(yīng)該選什么樣的核函數(shù)，而核函數(shù)選擇的適合與否直接決定整體的性能。

表 1 列出了幾種常用的核函數(shù)。通常，當(dāng)特征維數(shù) d 超過樣本數(shù) m 時 (文本分類問題通常是這種情況)，使用線性核；當(dāng)特征維數(shù) d 比較小，樣本數(shù) m 中等時，使用 RBF 核；當(dāng)特征維數(shù) d 比較小，樣本數(shù) m 特別大時，支持向量機(jī)性能通常不如深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

除此之外，用戶還可以根據(jù)需要自定義核函數(shù)，但需要滿足 Mercer 條件 [5]。

反之亦然。

新的核函數(shù)還可以通過現(xiàn)有核函數(shù)的組合得到，使用多個核函數(shù)的凸組合是多核學(xué)習(xí) [9] 的研究內(nèi)容。

4.4 核方法

上述核技巧不僅使用于支持向量機(jī)，還適用于一大類問題。

即 Φα 比 w 有更小的目標(biāo)函數(shù)值，說明 w 不是最優(yōu)解，與假設(shè)矛盾。因此，最優(yōu)解必定是樣本的線性組合。

此外，原版表示定理適用于任意單調(diào)遞增正則項 Ω(w)。此證明已超出本文范圍，感興趣的讀者可參考 [13]。

表示定理對損失函數(shù)形式?jīng)]有限制，這意味著對許多優(yōu)化問題，最優(yōu)解都可以寫成樣本的線性組合。更進(jìn) 一步，將可以寫成核函數(shù)的線性組合

通過核函數(shù)，我們可以將線性模型擴(kuò)展成非線性模型。這啟發(fā)了一系列基于核函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，統(tǒng)稱為核方法 [8]。

5. 軟間隔

不管直接在原特征空間，還是在映射的高維空間，我們都假設(shè)樣本是線性可分的。雖然理論上我們總能找 到一個高維映射使數(shù)據(jù)線性可分，但在實(shí)際任務(wù)中，尋找到這樣一個合適的核函數(shù)通常很難。此外，由于數(shù)據(jù)中通常有噪聲存在，一味追求數(shù)據(jù)線性可分可能會使模型陷入過擬合的泥沼。因此，我們放寬對樣本的要求，即允許有少量樣本分類錯誤。

5.1 軟間隔支持向量機(jī)基本型

我們希望在優(yōu)化間隔的同時，允許分類錯誤的樣本出現(xiàn)，但這類樣本應(yīng)盡可能少：

其中，是指示函數(shù)，C 是個可調(diào)節(jié)參數(shù)，用于權(quán)衡優(yōu)化間隔和少量分類錯誤樣本這兩個目標(biāo)。但是，指示函數(shù)不連續(xù)，更不是凸函數(shù)，使得優(yōu)化問題不再是二次規(guī)劃問題。所以我們需要對其進(jìn)行簡化。

公式 60 難以實(shí)際應(yīng)用的原因在于指示函數(shù)只有兩個離散取值 0/1，對應(yīng)樣本分類正確/錯誤。為了能使優(yōu) 化問題繼續(xù)保持為二次規(guī)劃問題，我們需要引入一個取值為連續(xù)值的變量，刻畫樣本滿足約束的程度。我們引入松弛變量 (slack variable) ξ_i，用于度量樣本違背約束的程度。當(dāng)樣本違背約束的程度越大，松弛變量值越大。即，

其中，C 是個可調(diào)節(jié)參數(shù)，用于權(quán)衡優(yōu)化間隔和少量樣本違背大間隔約束這兩個目標(biāo)。當(dāng) C 比較大時，我們希望更多的樣本滿足大間隔約束；當(dāng) C 比較小時，我們允許有一些樣本不滿足大間隔約束。

5.2 軟間隔支持向量機(jī)對偶型

定理 25 (軟間隔支持向量機(jī)對偶型). 軟間隔支持向量機(jī)的對偶問題等價于找到一組合適的 α，使得

因?yàn)閮?nèi)層對 (w, b, ξ) 的優(yōu)化屬于無約束優(yōu)化問題，我們可以通過令偏導(dǎo)等于零的方法得到 (w, b, ξ) 的最優(yōu)值。

推論 26. 軟間隔支持向量機(jī)對偶型中描述的優(yōu)化問題屬于二次規(guī)劃問題，包括 m 個優(yōu)化變量，2m+2 項約束。

5.3 軟間隔支持向量機(jī)的支持向量

定理 27 (軟間隔支持向量機(jī)的 KKT 條件). 軟間隔支持向量機(jī)的 KKT 條件如下.

引理 28. 軟間隔支持向量機(jī)中，支持向量落在最大間隔邊界，內(nèi)部，或被錯誤分類的樣本。

定理 29. 支持向量機(jī)的參數(shù) (w, b) 僅由支持向量決定，與其他樣本無關(guān)。

證明. 和線性支持向量機(jī)證明方式相同。

5.4 鉸鏈損失

引理 30. 公式 61 等價為

其中，第一項稱為經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險，度量了模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)的擬合程度；第二項稱為結(jié)構(gòu)風(fēng)險，也稱為正則化項，度量了模型自身的復(fù)雜度。正則化項削減了假設(shè)空間，從而降低過擬合風(fēng)險。λ 是個可調(diào)節(jié)的超參數(shù)，用于權(quán)衡經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險和結(jié)構(gòu)風(fēng)險。

6. 優(yōu)化方法

6.1 SMO 

如果直接用經(jīng)典的二次規(guī)劃軟件包求解支持向量機(jī)對偶型，由于的存儲開銷是，當(dāng)訓(xùn)練樣本很多時，這將是一個很大的存儲和計算開銷。序列最小化 (SMO) [10]是一個利用支持 向量機(jī)自身特性高效的優(yōu)化算法。SMO 的基本思路是坐標(biāo)下降。

定義 7 (坐標(biāo)下降). 通過循環(huán)使用不同坐標(biāo)方向，每次固定其他元素，只沿一個坐標(biāo)方向進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的局部最小，見算法 1.

我們希望在支持向量機(jī)中的對偶型中，每次固定除 α_i 外的其他變量，之后求在 α_i 方向上的極值。但由于 約束，當(dāng)其他變量固定時，α_i 也隨著確定。這樣，我們無法在不違背約束的前提下對 α_i 進(jìn)行優(yōu)化。因此，SMO 每步同時選擇兩個變量 α_i 和 α_j 進(jìn)行優(yōu)化，并固定其他參數(shù)，以保證不違背約束。

定理 32 (SMO 每步的優(yōu)化目標(biāo)). SMO 每步的優(yōu)化目標(biāo)為

推論 33. SMO 每步的優(yōu)化目標(biāo)可等價為對 α_i 的單變量二次規(guī)劃問題。

證明. 由于，我們可以將其代入 SMO 每步的優(yōu)化目標(biāo)，以消去變量 α_j。此時，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)是對于 α_i 的二次函數(shù)，約束是一個取值區(qū)間 L ≤ α_i ≤ H。之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)頂點(diǎn)與區(qū)間 [L, H] 的位置關(guān)系，可以得到 α_i 的最優(yōu)值。理論上講，每步優(yōu)化時 α_i 和 α_j 可以任意選擇，但實(shí)踐中通常取 α_i 為違背 KKT 條件最大的變量，而 α_j取對應(yīng)樣本與 α_i 對應(yīng)樣本之間間隔最大的變量。對 SMO 算法收斂性的測試可以用過檢測是否滿足 KKT 條件得到。

6.2 Pegasos

我們也可以直接在原問題對支持向量機(jī)進(jìn)行優(yōu)化，尤其是使用線性核函數(shù)時，我們有很高效的優(yōu)化算法，如 Pegasos [14]。Pegasos 使用基于梯度的方法在線性支持向量機(jī)基本型

進(jìn)行優(yōu)化，見算法 2。

6.3 近似算法

當(dāng)使用非線性核函數(shù)下的支持向量機(jī)時，由于核矩陣，所以時間復(fù)雜度一定是，因此，有許多學(xué)者致力于研究一些快速的近似算法。例如，CVM [15]基于近似最小包圍球算法，Nystr?m 方法[18]通過從 K 采樣出一些列來得到 K 的低秩近似，隨機(jī)傅里葉特征[12]構(gòu)造了向低維空間的隨機(jī)映射。本章介紹了許多優(yōu)化算法，實(shí)際上現(xiàn)在已有許多開源軟件包對這些算法有很好的實(shí)現(xiàn)，目前比較著名的有 LibLinear[7] 和 LibSVM[3]，分別適用于線性和非線性核函數(shù)。

7. 支持向量機(jī)的其他變體

ProbSVM. 對數(shù)幾率回歸可以估計出樣本屬于正類的概率，而支持向量機(jī)只能判斷樣本屬于正類或負(fù)類，無法得到概率。ProbSVM[11]先訓(xùn)練一個支持向量機(jī)，得到參數(shù) (w, b)。再令，將當(dāng)做新的訓(xùn)練數(shù)據(jù)訓(xùn)練一個對數(shù)幾率回歸模型，得到參數(shù)。因此，ProbSVM 的假設(shè)函數(shù)為

對數(shù)幾率回歸模型可以認(rèn)為是對訓(xùn)練得到的支持向量機(jī)的微調(diào)，包括尺度 (對應(yīng) θ₁) 和平移 (對應(yīng) θ₀)。通常 θ₁ > 0，θ₀ ≈ 0。

多分類支持向量機(jī). 支持向量機(jī)也可以擴(kuò)展到多分類問題中. 對于 K 分類問題，多分類支持向量機(jī) [17] 有 K 組參數(shù)，并希望模型對于屬于正確標(biāo)記的結(jié)果以 1 的間隔高于其他類的結(jié) 果，形式化如下

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