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| 本文作者： 我在思考中 | 2021-12-03 10:08 |
編輯 | 琰琰
數(shù)論是人類知識最古老的一個分支，然而它最深奧的秘密與其最平凡的真理是密切相連的。數(shù)學(xué)原理極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏的極深。可以說數(shù)學(xué)，是一切科學(xué)的基礎(chǔ)。就如諾貝爾獎得主費曼說：如果沒有數(shù)學(xué)語言，宇宙似乎是不可以描述的。
徐宗本院士曾表示，數(shù)學(xué)與 AI 的關(guān)系是「融通共進」。一方面，人工智能的基礎(chǔ)之一是數(shù)學(xué)，因此人工智能想要行穩(wěn)致遠，就必須先把數(shù)學(xué)的基本問題解決好；另一方面，人工智能的發(fā)展也對數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究產(chǎn)生了重要的推動作用。
只是目前為止，人工智能技術(shù)未能在純數(shù)學(xué)研究中取得重大突破。
12月1日，Nature雜志刊登文章《Advancing mathematics by guiding human intuition with AI》，驗證了機器學(xué)習(xí)在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想和定理方面有著巨大潛力。
相關(guān)鏈接：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x
這篇文章出自人工智能明星公司DeepMind團隊，他們與數(shù)學(xué)領(lǐng)域的頂級科學(xué)家合作，在拓撲學(xué)和表象理論方面證明了兩個新猜想：
與悉尼大學(xué)Geordie Williamson教授合作接近證明了一個關(guān)于卡茲丹—盧斯提格多項式的古老猜想，這個猜想已困擾數(shù)學(xué)家們40多年。
與牛津大學(xué)Marc Lackenby教授和András Juhász教授一起，通過研究拓撲學(xué)紐結(jié)理論觀察到代數(shù)和幾何不變量之間的驚人聯(lián)系。這是利用機器學(xué)習(xí)做出的第一個重大數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。
在這篇最新論文中，計算機科學(xué)家和數(shù)學(xué)家們首次使用AI來幫助證明或提出新的數(shù)學(xué)定理，包括復(fù)雜理論中的紐結(jié)理論和表象理論。
該論文的研究團隊提出采用一種機器學(xué)習(xí)模型，來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象之間的潛在模式和關(guān)聯(lián)，用歸因技術(shù)加以輔助理解，并利用這些觀察進一步指導(dǎo)直覺思維和提出猜想的過程。
這次研究中，AI幫助探索的數(shù)學(xué)方向是表象理論。表象理論屬于線性對稱理論，是利用線性代數(shù)探索高維空間的數(shù)學(xué)分支，而該論文的合著者Williamson教授是全球公認的表象理論的領(lǐng)導(dǎo)者。
Williamson教授說：“在我所研究的領(lǐng)域中，為了證明或反駁長期存在的猜想，有時需要考慮跨越多維度的無限空間和極其復(fù)雜的方程組”。雖然計算機長期以來一直被用來為實驗數(shù)學(xué)生成數(shù)據(jù)，但識別有趣模式的任務(wù)主要依賴于數(shù)學(xué)家自己的直覺。
眾所周知，數(shù)學(xué)家的直覺在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著極其重要的作用——“只有結(jié)合嚴格的形式主義和良好的直覺思維，才能解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題”。
然而，DeepMind的新突破打開了一扇嶄新的大門。
DeepMind團隊在論文中描述了一種通用的框架方法，在這個框架之下，數(shù)學(xué)家可以使用ML工具來指導(dǎo)他們對復(fù)雜數(shù)學(xué)對象的直覺，驗證關(guān)系存在的假設(shè)，并理解這些關(guān)系。
Williamson教授就利用AI，在證明關(guān)于Kazhdan-Lusztig多項式的古老猜想的道路上離目標越來越近，當然，這些猜想涉及高維代數(shù)中的深度對稱性?？梢哉f，Kazhdan-Lusztig（KL）是代數(shù)群表示論近40年來最重要的發(fā)展之一。
而來自牛津大學(xué)的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，則進一步研究了該過程。
他們發(fā)現(xiàn)了紐結(jié)的代數(shù)和幾何不變量之間驚人的關(guān)聯(lián)，建立了數(shù)學(xué)中一個全新的定理。這些不變量有許多不同的推導(dǎo)方式，研究團隊將目標主要聚焦在兩大類：雙曲不變量和代數(shù)不變量。兩者來自完全不同的學(xué)科，這增加了研究的挑戰(zhàn)性和趣味性。
研究團隊假設(shè)，在一個紐結(jié)的雙曲不變量和代數(shù)不變量之間存在著一種未被發(fā)現(xiàn)的關(guān)系。監(jiān)督學(xué)習(xí)模型能夠檢測到大量幾何不變量和簽名之間存在的模式。如下圖所示，由歸因技術(shù)確定最相關(guān)的特征。
通過計算歸因技術(shù)確定的最相關(guān)的顯著子圖，分析這些圖與原始圖相比的邊緣分布，有助于進一步探索結(jié)構(gòu)證據(jù)。
圖注：a. 在預(yù)測 q4 時，與數(shù)據(jù)集中跨區(qū)間的平均值相比，顯著子圖中存在的反射百分比增加的示例熱圖。b. 與來自數(shù)據(jù)集的10個相同大小的自舉樣本相比，模型的10次再訓(xùn)練在顯著子圖中觀察到的每種類型的邊緣的百分比。誤差線是95%的置信區(qū)間，顯示的顯著性水平是使用雙側(cè)雙樣本t檢驗確定的。* p < 0.05；****p < 0.0001。c. 通過假設(shè)、監(jiān)督學(xué)習(xí)和歸因的迭代過程發(fā)現(xiàn)的有趣子結(jié)構(gòu)的區(qū)間021435–240513∈S6的說明。受先前工作啟發(fā)的子圖以紅色突出顯示，超立方體以綠色突出顯示，分解分量同構(gòu)于SN-1中的區(qū)間以藍色突出顯示。
紐結(jié)作為低維拓撲中的基本對象之一，是一個嵌入三維空間的扭曲環(huán)。紐結(jié)理論可幫助數(shù)學(xué)家理解紐結(jié)的特性以及它與其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系，在生物、物理學(xué)科中也有無數(shù)應(yīng)用，如理解DNA鏈、流體動力學(xué)等。
誠如Williamson所說，識別有趣模式的任務(wù)主要依賴于數(shù)學(xué)家自己的直覺，Juhász教授也表示：“純數(shù)學(xué)家的工作方式是制定猜想并證明這些猜想，從而得出定理。但是，這些猜想從何而來呢？”
DeepMind的研究已證明，在數(shù)學(xué)直覺思維的指導(dǎo)下，ML提供了一個強大的框架，在有大量可用數(shù)據(jù)的領(lǐng)域，或者對象太大而無法應(yīng)用經(jīng)典方法研究的領(lǐng)域，可以幫助數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)有趣且可證明的猜想。
2016年3月，AlphaGo與圍棋世界冠軍、職業(yè)九段棋手李世乭進行圍棋人機大戰(zhàn)，以4比1的總比分獲勝。隨后AlphaGo在圍棋界取得了一連串緊鑼密鼓的勝利，但其背后的DeepMind團隊曾表示AlphaGo僅僅是他們AI項目的一個分支。
在未來，DeepMind將一直秉承的理念是：用人工智能解決一切重大科學(xué)問題。
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)無疑屬于重大科學(xué)問題的范疇。正如Geordie Williamson教授所說：“數(shù)學(xué)問題一度被認為是最具智力挑戰(zhàn)性的問題……雖然數(shù)學(xué)家們已經(jīng)使用ML來幫助分析復(fù)雜的數(shù)據(jù)集，但這是我們第一次使用計算機來輔助形成猜想，或為數(shù)學(xué)中未經(jīng)證實的想法提出可能的突破路線?！?/span>
圖注：Geordie Williamson教授
Geordie Williamson教授是悉尼大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長，也是世界上最重要的數(shù)學(xué)家之一，在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著非凡的成績，是全球公認的表象理論的領(lǐng)導(dǎo)者。作為此次論文的合著者，他運用AI在其專業(yè)領(lǐng)域成功展開大膽的探索猜想。
論文的一作Alex Davies博士也表示：AI技術(shù)已足夠先進，足以有力推動許多不同學(xué)科的進步。其中，純數(shù)學(xué)就是一個典例。團隊的研究人員希望，這篇論文能給其他學(xué)者帶來靈感和啟發(fā)，充分認識AI在其領(lǐng)域中的潛力。
可見，人工智能在如今的數(shù)學(xué)研究中已展現(xiàn)出巨大的潛力。追溯歷史，計算機科學(xué)在數(shù)學(xué)史上的貢獻也是功不可沒。
上世紀五十年代，美國華裔數(shù)學(xué)家王浩等人利用計算機研究羅素和懷德海的名著《數(shù)學(xué)原理》中定理的證明，成果突出。從上世紀七十年代后期開始，我國數(shù)學(xué)家吳文俊、張景中等，著手用計算機證明幾何定理，在國際上產(chǎn)生了巨大影響。
圖注：華裔數(shù)學(xué)家王浩
1878年6月13日英國數(shù)學(xué)家凱萊在數(shù)學(xué)會上正式提出了四色猜想，然后，對四色猜想的證明就如火如荼地展開了，但由于沒有大數(shù)學(xué)家的參與和人工算力的局限，俄羅斯數(shù)學(xué)家閔科夫斯曾在演算失敗后感嘆：上帝在懲罰閔科夫斯基的狂妄。其難度可見一斑。1976年，兩個美國人阿貝爾和哈肯終于用計算機證明了四色猜想，此舉立刻得到社會上的認可，1976年美國伊利諾地方的郵戳上甚至印有紀念文字：“Four colors surfice”。
被譽為「數(shù)學(xué)世界亞歷山大」的德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi) · 希爾伯特曾提出23個問題，其中多數(shù)已得到完整解決或部分解決。120年后的今天，杜克大學(xué)教授 Samit Dasgupta和印度科學(xué)研究院教授 Mahesh Kakde終于在計算機程序的助力下找到數(shù)字系統(tǒng)的構(gòu)建塊，完美證明了第十二個數(shù)學(xué)難題“一般代數(shù)數(shù)域的阿貝爾擴張”。
多年來，數(shù)學(xué)家一直使用計算機生成數(shù)據(jù)，以幫助尋找模式。這種被稱為實驗數(shù)學(xué)的研究產(chǎn)生了著名的猜想，如Birch和Swinnerton-Dyer猜想——六個“千禧年大獎難題”之一，是數(shù)學(xué)中最著名的開放性問題（每個問題的獎金都高達一百萬美元）。
雖然這種方法已成功實踐并且變得相當普遍，但從這些數(shù)據(jù)中識別和發(fā)現(xiàn)模式仍然主要依靠數(shù)學(xué)家。
在純數(shù)學(xué)中，現(xiàn)在生成的數(shù)據(jù)可能比任何數(shù)學(xué)家一生所能合理預(yù)期的要多，因此，發(fā)現(xiàn)模式變得愈加重要。一些感興趣的物體，比如那些具有數(shù)千維空間的物體可能因為太深不可測而無法直接推理，考慮到這些限制，DeepMind團隊相信人工智能將能夠以全新的方式增強數(shù)學(xué)家的洞察力。
參考資料：
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
https://mp.weixin.qq.com/s/iPjIemHKHenyvtaUTESRig
https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x
http://www.ozgbdpf.cn/category/academic/uOmvQDxfp64OhOKU.html
https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways
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