1
雷鋒網(wǎng) AI科技評論按：本文作者何之源，原文載于知乎專欄AI Insight，雷鋒網(wǎng) AI科技評論獲其授權(quán)發(fā)布。
今天來介紹一個小項目：在TensorFlow中生成分形圖案。分形本身只是一個數(shù)學(xué)概念，與機器學(xué)習(xí)并無太大關(guān)系，但是通過分形的生成，我們可以了解怎么在TensorFlow中進行數(shù)學(xué)計算，以及如何進行基本的流程控制，是學(xué)習(xí)TensorFlow的一個非常好的練手項目。
在開始之前，需要說明的是，TensorFlow官方也提供了一個生成分形圖案的教程(地址： www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot)，然而官方教程中生成的圖像實在是太丑了，而且只能生成一種圖案，我對官方的代碼做了一些改進，并且加入了多種類型的分形，此外，不僅可以生成圖像，還可以制作gif動畫，代碼已經(jīng)放到了Github上：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground，主要的程序只有50行，歡迎大家參考。
Mandelbrot集合是分形中最經(jīng)典的一個例子?？紤]迭代公式 （z和c都是復(fù)數(shù)）。當(dāng)
為0時，得到的值可以組成一個數(shù)列，依次為
。當(dāng)該數(shù)列發(fā)散到無窮時，對應(yīng)的點就屬于Mandelbrot集合。
如 時，顯然數(shù)列永遠是0，并不發(fā)散，因此0不屬于Mandelbrot集合。
又如 時，對應(yīng)的數(shù)列為
，數(shù)字越來越龐大，因此3i就屬于Mandelbrot集合。
在二維平面上，將所有不屬于Mandelbrot集合的點標(biāo)記為黑色，將所有屬于Mandelbrot集合的點按照其發(fā)散速度賦予不同的顏色，就可以得到Mandelbrot的經(jīng)典圖像：
上面這張圖完全是使用TensorFlow進行計算的，類似的圖大家應(yīng)該在網(wǎng)上也見過好多了，在TensorFlow中，我們定義下面的計算步驟：
xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64))
zs = tf.Variable(xs)
ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session():
tf.global_variables_initializer().run()
zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs)
not_diverged = tf.abs(zs_) < R
step = tf.group(
zs.assign(zs_),
ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32))
for i in range(ITER_NUM): step.run()
final_step = ns.eval()
final_z = zs_.eval()
zs就對應(yīng)我們之前迭代公式的z，而xs就對應(yīng)迭代公式中的c。為了方便起見，只要計算時數(shù)值的絕對值大于一個事先指定的值R，就認(rèn)為其發(fā)散。每次計算使用tf.where只對還未發(fā)散的值進行計算。結(jié)合ns和zs_就可以計算顏色，得到經(jīng)典的Mandelbrot圖像。
Julia集合和Mandelbrot集合差不多，但這次我們固定c，轉(zhuǎn)而計算發(fā)散的z的值。即c是固定的常數(shù)（可以任?。?，數(shù)列變成 。如果該數(shù)列發(fā)散，對應(yīng)的z就屬于Julia集合。對此，我們只要在原來的程序中修改兩行內(nèi)容，就可以生成Julia集合：
xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype))
zs = tf.Variable(Z)
我們在fill_value=c處指定了Julia集合中的c值，只要使用不同的c值，就可以生成完全不同的Julia集合！
默認(rèn)： ：
將c值變?yōu)? ，并調(diào)整顏色（調(diào)整方法參考Github頁面的說明）：
選用 ，圖案又變得完全不同：
在Julia集合中，每次都對c的值進行微小的改變，并將依次生成圖片制作為gif，就可以生成如下所示的動畫，對應(yīng)的代碼為julia_gif.py：
這里由于上傳gif有大小限制的關(guān)系，只展示了一個小尺寸的動畫圖像。程序中提供了一個width參數(shù)，可以修改它以生成更大尺寸，質(zhì)量更高的動畫圖像。
（注意：下面的圖片可能對密集恐懼癥患者不太友好。。。因此慎重翻頁。。）
在前面生成的Mandelbrot集合中，我們可以將圖像放大，選取某些區(qū)域進行生成，就可以得到格式各樣造型迥異的分形圖案，對應(yīng)的程序為mandelbrot_area.py。
在Mandelbrot集合中，有很多地方圖案比較奇特，如下圖中的9個位置。
其中編號為2的地方被稱為“Elephant Valley”，因為此處的圖案與大象很像，直接運行mandelbrot_area.py就可以得到該區(qū)域的圖像：
編號為3的地方被稱為“Triple Spiral Valley”（三重螺旋），在mandelbrot_area.py修改一下坐標(biāo)位置為(ratio調(diào)整的是顏色)：
start_x = -0.090 # x range
end_x = -0.086
start_y = 0.654 # y range
end_y = 0.657
width = 1000
ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6
就可以得到該處的圖案：
最后編號為1的地方被稱為“Seahorse Valley”（海馬山谷），對應(yīng)的坐標(biāo)為：
start_x = -0.750 # x range
end_x = -0.747
start_y = 0.099 # y range
end_y = 0.102
width = 1000
ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3
圖像如下，確實和海馬有一點神似：
項目提供了兩個jupyter notebook：Mandelbrot.ipynb和Julia.ipynb可以對Mandelbrot集合、Julia集合做更方便的探索。其中，Mandelbrot集的更多坐標(biāo)位置可以參考Quick Guide to the Mandelbrot Set（http://www.nahee.com/Derbyshire/manguide.html），Julia集中更多有趣的c值可以參考Julia set - Wikipedia（https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set#Quadratic_polynomials）。網(wǎng)上類似的資源還有很多。
最后再安利一下項目地址：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground。如果代碼有什么問題可以直接發(fā)在評論里或者在Github上提出issue：）
雷峰網(wǎng)版權(quán)文章，未經(jīng)授權(quán)禁止轉(zhuǎn)載。詳情見轉(zhuǎn)載須知。
