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雷鋒網(wǎng)按：本文作者劉鵬，原文載于作者個人博客，雷鋒網(wǎng)已獲授權(quán)。
現(xiàn)實生活中有這樣一類隨機現(xiàn)象，在已知現(xiàn)在情況的條件下，未來時刻的情況只與現(xiàn)在有關(guān)，而與遙遠(yuǎn)的過去并無直接關(guān)系。
比如天氣預(yù)測，如果我們知道“晴天，多云，雨天”之間的轉(zhuǎn)換概率，那么如果今天是晴天，我們就可以推斷出明天是各種天氣的概率，接著后天的天氣可以由明天的進(jìn)行計算。這類問題可以用 Markov 模型來描述。
markov
進(jìn)一步，如果我們并不知道今天的天氣屬于什么狀況，我們只知道今明后三天的水藻的干燥濕潤狀態(tài)，因為水藻的狀態(tài)和天氣有關(guān)，我們想要通過水藻來推測這三天的真正的天氣會是什么，這個時候就用 Hidden Markov 模型來描述。
hmm
HMM 模型的本質(zhì)是從觀察的參數(shù)中獲取隱含的參數(shù)信息，并且前后之間的特征會存在部分的依賴影響。
根據(jù)可觀察狀態(tài)的序列找到一個最可能的隱藏狀態(tài)序列
中文分詞，就是給一個漢語句子作為輸入，以“BEMS”組成的序列串作為輸出，然后再進(jìn)行切詞，進(jìn)而得到輸入句子的劃分。其中，B代表該字是詞語中的起始字，M代表是詞語中的中間字，E代表是詞語中的結(jié)束字，S則代表是單字成詞。
例如：給個句子
小明碩士畢業(yè)于中國科學(xué)院計算所
得到BEMS組成的序列為
BEBEBMEBEBMEBES
因為句尾只可能是E或者S，所以得到切詞方式為
BE/BE/BME/BE/BME/BE/S
進(jìn)而得到中文句子的切詞方式為
小明/碩士/畢業(yè)于/中國/科學(xué)院/計算/所
這是個HMM問題，因為你想要得到的是每個字的位置，但是看到的只是這些漢字，需要通過漢字來推出每個字在詞語中的位置，并且每個字屬于什么狀態(tài)還和它之前的字有關(guān)。
此時，我們需要根據(jù)可觀察狀態(tài)的序列找到一個最可能的隱藏狀態(tài)序列。
五元組
通過上面的例子，我們可以知道 HMM 有以下5個要素。
觀測序列－O：小明碩士畢業(yè)于中國科學(xué)院計算所
狀態(tài)序列－S：BEBEBMEBEBMEBES
初始狀態(tài)概率向量－π：句子的第一個字屬于{B,E,M,S}這四種狀態(tài)的概率
狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣－A：如果前一個字位置是B，那么后一個字位置為BEMS的概率各是多少
觀測概率矩陣－B：在狀態(tài)B的條件下，觀察值為耀的概率，取對數(shù)后是-10.460
備注：示例數(shù)值是對概率值取對數(shù)之后的結(jié)果，為了將概率相乘的計算變成對數(shù)相加，其中-3.14e+100作為負(fù)無窮，也就是對應(yīng)的概率值是0
三類問題
當(dāng)通過五元組中某些已知條件來求未知時，就得到HMM的三類問題：
● 似然度問題：參數(shù)(O，π，A，B)已知的情況下，求(π，A，B)下觀測序列O出現(xiàn)的概率。(Forward-backward算法)
● 解碼問題：參數(shù)(O，π，A，B)已知的情況下，求解狀態(tài)值序列S。(viterbi算法)
● 學(xué)習(xí)問題：參數(shù)(O)已知的情況下，求解(π，A，B)。(Baum-Welch算法)
中文分詞這個例子屬于第二個問題，即解碼問題。
我們希望找到 s_1,s_2,s_3,... 使 P (s_1,s_2,s_3,...|o_1,o_2,o_3....) 達(dá)到最大。
意思是，當(dāng)我們觀測到語音信號 o_1,o_2,o_3,... 時，我們要根據(jù)這組信號推測出發(fā)送的句子 s_1,s_2,s_3,....，顯然，我們應(yīng)該在所有可能的句子中找最有可能性的一個。
兩個假設(shè)
利用貝葉斯公式得到：
這里需要用到兩個假設(shè)來進(jìn)一步簡化上述公式
有限歷史性假設(shè): si 只由 si-1 決定
獨立輸出假設(shè)：第 i 時刻的接收信號 oi 只由發(fā)送信號 si 決定
有了上面的假設(shè)，就可以利用算法 Viterbi 找出目標(biāo)概率的最大值。
根據(jù)動態(tài)規(guī)劃原理，最優(yōu)路徑具有這樣的特性：如果最優(yōu)路徑從結(jié)點 i_{t}^ 到終點 i_{T}^，那么這兩點之間的所有可能的部分路徑必須是最優(yōu)的。
依據(jù)這一原理，我們只需從時刻 t=1 開始，遞推地計算在時刻 t 狀態(tài)為 i 的各條部分路徑的最大概率，直至得到時刻 t=T 狀態(tài)為 i 的各條路徑的最大概率 P^，最優(yōu)路徑的終結(jié)點 i_{T}^ 也同時得到。之后，為了找出最優(yōu)路徑的各個結(jié)點，從終結(jié)點 i_{T}^ 開始，由后向前逐步求得結(jié)點 i_{T-1}^...，i_{1}^，進(jìn)而得到最優(yōu)路徑 I^＝i_{1}^...，i_{T}^，這就是維特比算法.
舉個栗子：
觀測序列 O＝(紅，白，紅)，想要求狀態(tài)序列S。
需要定義兩個變量:
● weight[3][3]，行3是狀態(tài)數(shù)(1，2，3)，列3是觀察值個數(shù)(紅，白，紅)。意思是，在時刻 t 狀態(tài)為 i 的所有單個路徑中的概率最大值。
● path[3][3]，意思是，在時刻 t 狀態(tài)為 i 的所有單個路徑中概率最大的那條路徑，它的第 t-1 個結(jié)點是什么。比如 path[0][2]=1, 則代表 weight[0][2] 取到最大時，前一個時刻的狀態(tài)是 1.
1.初始化
t＝1 時的紅，分別是在狀態(tài) 1，2，3 的條件下觀察得來的概率計算如下：
此時 path 的第一列全是 0.
2.遞歸
t＝2 時的白，如果此時是在 1 的條件下觀察得來的話，先計算此時狀態(tài)最可能是由前一時刻的哪個狀態(tài)轉(zhuǎn)換而來的，取這個最大值，再乘以 1 條件下觀測到 白 的概率，同時記錄 path矩陣：如下圖 weight[0][1]=0.028，此值來源于前一時刻狀態(tài)是3，所以，
3.終止
在 t＝3 時的最大概率 P^＝0.0147，相應(yīng)的最優(yōu)路徑的終點是 i_3^=3.
4.回溯
由最優(yōu)路徑的終點 3 開始，向前找到之前時刻的最優(yōu)點：
在 t＝2 時，因 i_3^=3，狀態(tài) 3 的最大概率 P＝0.0147，來源于狀態(tài) 3，所以 i_2^=3.
在 t＝1 時，因 i_2^=3，狀態(tài) 3 的最大概率 P＝0.042，來源于狀態(tài) 3，所以 i_1^=3.
最后得到最優(yōu)路徑為 I^＝(i_{1}^，i_{2}^，i_{3}^)＝(3,3,3)
根據(jù)上面講的 HMM 和 Viterbi，接下來對中文分詞這個問題，構(gòu)造五元組并用算法進(jìn)行求解。
InitStatus：π
TransProbMatrix：A
EmitProbMatrix：B
Viterbi求解
經(jīng)過這個算法后，會得到兩個矩陣 weight 和 path：
二維數(shù)組 weight[4][15]，4是狀態(tài)數(shù)(0:B,1:E,2:M,3:S)，15是輸入句子的字?jǐn)?shù)。比如 weight[0][2] 代表 狀態(tài)B的條件下，出現(xiàn)'碩'這個字的可能性。
二維數(shù)組 path[4][15]，4是狀態(tài)數(shù)(0:B,1:E,2:M,3:S)，15是輸入句子的字?jǐn)?shù)。比如 path[0][2] 代表 weight[0][2]取到最大時，前一個字的狀態(tài)，比如 path[0][2] = 1, 則代表 weight[0][2]取到最大時，前一個字(也就是明)的狀態(tài)是E。記錄前一個字的狀態(tài)是為了使用viterbi算法計算完整個 weight[4][15] 之后，能對輸入句子從右向左地回溯回來，找出對應(yīng)的狀態(tài)序列。
先對 weight 進(jìn)行初始化，
使用 InitStatus 和 EmitProbMatrix 對 weight 二維數(shù)組進(jìn)行初始化。
由 EmitProbMatrix 可以得出
所以可以初始化 weight[i][0] 的值如下：
注意上式計算的時候是相加而不是相乘，因為之前取過對數(shù)的原因。
然后遍歷找到 weight 每項的最大值，同時記錄了相應(yīng)的 path
//遍歷句子，下標(biāo)i從1開始是因為剛才初始化的時候已經(jīng)對0初始化結(jié)束了
for(size_t i = 1; i < 15; i++)
{
// 遍歷可能的狀態(tài)
for(size_t j = 0; j < 4; j++)
{
weight[j][i] = MIN_DOUBLE;
path[j][i] = -1;
//遍歷前一個字可能的狀態(tài)
for(size_t k = 0; k < 4; k++)
{
double tmp = weight[k][i-1] + _transProb[k][j] + _emitProb[j][sentence[i]];
if(tmp > weight[j][i]) // 找出最大的weight[j][i]值
{
weight[j][i] = tmp;
path[j][i] = k;
}
}
}
}
如此遍歷下來，weight[4][15] 和 path[4][15] 就都計算完畢。
確定邊界條件和路徑回溯
邊界條件如下：
對于每個句子，最后一個字的狀態(tài)只可能是 E 或者 S，不可能是 M 或者 B。
所以在本文的例子中我們只需要比較 weight[1(E)][14] 和 weight[3(S)][14] 的大小即可。
在本例中：
weight[1][14] = -102.492;
weight[3][14] = -101.632;
所以 S > E，也就是對于路徑回溯的起點是 path[3][14]。
進(jìn)行回溯，得到序列
SEBEMBEBEMBEBEB。
再進(jìn)行倒序，得到
BEBEBMEBEBMEBES
接著進(jìn)行切詞得到
BE/BE/BME/BE/BME/BE/S
最終就找到了分詞的方式
小明/碩士/畢業(yè)于/中國/科學(xué)院/計算/所
HMM不只用于中文分詞，如果把 S 換成句子，O 換成語音信號，就變成了語音識別問題，如果把 S 換成中文，O 換成英文，就變成了翻譯問題，如果把 S 換成文字，O 換成圖像，就變成了文字識別問題，此外還有詞性標(biāo)注等等問題。
對于上述每種問題，只要知道了五元組中的三個參數(shù)矩陣，就可以應(yīng)用 Viterbi 算法得到結(jié)果。
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