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| 本文作者： 楊鯉萍 | 2019-11-26 17:58 |
雷鋒網(wǎng) AI 開發(fā)者按：網(wǎng)上關(guān)于各種降維算法的資料參差不齊，同時大部分不提供源代碼。這里有個 GitHub 項(xiàng)目整理了使用 Python 實(shí)現(xiàn)了 11 種經(jīng)典的數(shù)據(jù)抽取（數(shù)據(jù)降維）算法，包括：PCA、LDA、MDS、LLE、TSNE 等，并附有相關(guān)資料、展示效果；非常適合機(jī)器學(xué)習(xí)初學(xué)者和剛剛?cè)肟訑?shù)據(jù)挖掘的小伙伴。
所謂降維，即用一組個數(shù)為 d 的向量 Zi 來代表個數(shù)為 D 的向量 Xi 所包含的有用信息，其中 d<D；通俗來講，即將高維度下降至低維度；將高維數(shù)據(jù)下降為低維數(shù)據(jù)。
通常，我們會發(fā)現(xiàn)大部分?jǐn)?shù)據(jù)集的維度都會高達(dá)成百乃至上千，而經(jīng)典的 MNIST，其維度都是 64。
MNIST 手寫數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)集
但在實(shí)際應(yīng)用中，我們所用到的有用信息卻并不需要那么高的維度，而且每增加一維所需的樣本個數(shù)呈指數(shù)級增長，這可能會直接帶來極大的「維數(shù)災(zāi)難」；而數(shù)據(jù)降維就可以實(shí)現(xiàn)：
使得數(shù)據(jù)集更易使用
確保變量之間彼此獨(dú)立
降低算法計算運(yùn)算成本
去除噪音
一旦我們能夠正確處理這些信息，正確有效地進(jìn)行降維，這將大大有助于減少計算量，進(jìn)而提高機(jī)器運(yùn)作效率。而數(shù)據(jù)降維，也常應(yīng)用于文本處理、人臉識別、圖片識別、自然語言處理等領(lǐng)域。
往往高維空間的數(shù)據(jù)會出現(xiàn)分布稀疏的情況，所以在降維處理的過程中，我們通常會做一些數(shù)據(jù)刪減，這些數(shù)據(jù)包括了冗余的數(shù)據(jù)、無效信息、重復(fù)表達(dá)內(nèi)容等。
例如：現(xiàn)有一張 1024*1024 的圖，除去中心 50*50 的區(qū)域其它位置均為零值，這些為零的信息就可以歸為無用信息；而對于對稱圖形而言，對稱部分的信息則可以歸為重復(fù)信息。
因此，大部分經(jīng)典降維技術(shù)也是基于這一內(nèi)容而展開，其中降維方法又分為線性和非線性降維，非線性降維又分為基于核函數(shù)和基于特征值的方法。
線性降維方法：
PCA 、ICA LDA、LFA、LPP(LE 的線性表示)
非線性降維方法：
基于核函數(shù)的非線性降維方法——KPCA 、KICA、KDA
基于特征值的非線性降維方法（流型學(xué)習(xí)）——ISOMAP、LLE、LE、LPP、LTSA、MVU
哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)技術(shù)專業(yè)的在讀碩士生 Heucoder 則整理了 PCA、KPCA、LDA、MDS、ISOMAP、LLE、TSNE、AutoEncoder、FastICA、SVD、LE、LPP 共 12 種經(jīng)典的降維算法，并提供了相關(guān)資料、代碼以及展示，下面將主要以 PCA 算法為例介紹降維算法具體操作。
PCA 是一種基于從高維空間映射到低維空間的映射方法，也是最基礎(chǔ)的無監(jiān)督降維算法，其目標(biāo)是向數(shù)據(jù)變化最大的方向投影，或者說向重構(gòu)誤差最小化的方向投影。它由 Karl Pearson 在 1901 年提出，屬于線性降維方法。與 PCA 相關(guān)的原理通常被稱為最大方差理論或最小誤差理論。這兩者目標(biāo)一致，但過程側(cè)重點(diǎn)則不同。
最大方差理論降維原理
將一組 N 維向量降為 K 維（K 大于 0，小于 N），其目標(biāo)是選擇 K 個單位正交基，各字段兩兩間 COV(X,Y) 為 0，而字段的方差則盡可能大。因此，最大方差即使得投影數(shù)據(jù)的方差被最大化，在這過程中，我們需要找到數(shù)據(jù)集 Xmxn 的最佳的投影空間 Wnxk、協(xié)方差矩陣等，其算法流程為：
算法輸入：數(shù)據(jù)集 Xmxn；
按列計算數(shù)據(jù)集 X 的均值 Xmean，然后令 Xnew=X?Xmean；
求解矩陣 Xnew 的協(xié)方差矩陣，并將其記為 Cov；
計算協(xié)方差矩陣 COv 的特征值和相應(yīng)的特征向量；
將特征值按照從大到小的排序，選擇其中最大的 k 個，然后將其對應(yīng)的 k 個特征向量分別作為列向量組成特征向量矩陣 Wnxk；
計算 XnewW，即將數(shù)據(jù)集 Xnew 投影到選取的特征向量上，這樣就得到了我們需要的已經(jīng)降維的數(shù)據(jù)集 XnewW。
最小誤差理論降維原理
而最小誤差則是使得平均投影代價最小的線性投影，這一過程中，我們則需要找到的是平方錯誤評價函數(shù) J0(x0) 等參數(shù)。
詳細(xì)步驟可參考《從零開始實(shí)現(xiàn)主成分分析 (PCA) 算法》：
關(guān)于 PCA 算法的代碼如下：
from __future__ import print_function
from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cmx
import matplotlib.colors as colors
import numpy as np
%matplotlib inline
def shuffle_data(X, y, seed=None):
if seed:
np.random.seed(seed)
idx = np.arange(X.shape[0])
np.random.shuffle(idx)
return X[idx], y[idx]
# 正規(guī)化數(shù)據(jù)集 X
def normalize(X, axis=-1, p=2):
lp_norm = np.atleast_1d(np.linalg.norm(X, p, axis))
lp_norm[lp_norm == 0] = 1
return X / np.expand_dims(lp_norm, axis)
# 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)集 X
def standardize(X):
X_std = np.zeros(X.shape)
mean = X.mean(axis=0)
std = X.std(axis=0)
# 做除法運(yùn)算時請永遠(yuǎn)記住分母不能等于 0 的情形
# X_std = (X - X.mean(axis=0)) / X.std(axis=0)
for col in range(np.shape(X)[1]):
if std[col]:
X_std[:, col] = (X_std[:, col] - mean[col]) / std[col]
return X_std
# 劃分?jǐn)?shù)據(jù)集為訓(xùn)練集和測試集
def train_test_split(X, y, test_size=0.2, shuffle=True, seed=None):
if shuffle:
X, y = shuffle_data(X, y, seed)
n_train_samples = int(X.shape[0] * (1-test_size))
x_train, x_test = X[:n_train_samples], X[n_train_samples:]
y_train, y_test = y[:n_train_samples], y[n_train_samples:]
return x_train, x_test, y_train, y_test
# 計算矩陣 X 的協(xié)方差矩陣
def calculate_covariance_matrix(X, Y=np.empty((0,0))):
if not Y.any():
Y = X
n_samples = np.shape(X)[0]
covariance_matrix = (1 / (n_samples-1)) * (X - X.mean(axis=0)).T.dot(Y - Y.mean(axis=0))
return np.array(covariance_matrix, dtype=float)
# 計算數(shù)據(jù)集 X 每列的方差
def calculate_variance(X):
n_samples = np.shape(X)[0]
variance = (1 / n_samples) * np.diag((X - X.mean(axis=0)).T.dot(X - X.mean(axis=0)))
return variance
# 計算數(shù)據(jù)集 X 每列的標(biāo)準(zhǔn)差
def calculate_std_dev(X):
std_dev = np.sqrt(calculate_variance(X))
return std_dev
# 計算相關(guān)系數(shù)矩陣
def calculate_correlation_matrix(X, Y=np.empty([0])):
# 先計算協(xié)方差矩陣
covariance_matrix = calculate_covariance_matrix(X, Y)
# 計算 X, Y 的標(biāo)準(zhǔn)差
std_dev_X = np.expand_dims(calculate_std_dev(X), 1)
std_dev_y = np.expand_dims(calculate_std_dev(Y), 1)
correlation_matrix = np.divide(covariance_matrix, std_dev_X.dot(std_dev_y.T))
return np.array(correlation_matrix, dtype=float)
class PCA():
"""
主成份分析算法 PCA，非監(jiān)督學(xué)習(xí)算法.
"""
def __init__(self):
self.eigen_values = None
self.eigen_vectors = None
self.k = 2
def transform(self, X):
"""
將原始數(shù)據(jù)集 X 通過 PCA 進(jìn)行降維
"""
covariance = calculate_covariance_matrix(X)
# 求解特征值和特征向量
self.eigen_values, self.eigen_vectors = np.linalg.eig(covariance)
# 將特征值從大到小進(jìn)行排序，注意特征向量是按列排的，即 self.eigen_vectors 第 k 列是 self.eigen_values 中第 k 個特征值對應(yīng)的特征向量
idx = self.eigen_values.argsort()[::-1]
eigenvalues = self.eigen_values[idx][:self.k]
eigenvectors = self.eigen_vectors[:, idx][:, :self.k]
# 將原始數(shù)據(jù)集 X 映射到低維空間
X_transformed = X.dot(eigenvectors)
return X_transformed
def main():
# Load the dataset
data = datasets.load_iris()
X = data.data
y = data.target
# 將數(shù)據(jù)集 X 映射到低維空間
X_trans = PCA().transform(X)
x1 = X_trans[:, 0]
x2 = X_trans[:, 1]
cmap = plt.get_cmap('viridis')
colors = [cmap(i) for i in np.linspace(0, 1, len(np.unique(y)))]
class_distr = []
# Plot the different class distributions
for i, l in enumerate(np.unique(y)):
_x1 = x1[y == l]
_x2 = x2[y == l]
_y = y[y == l]
class_distr.append(plt.scatter(_x1, _x2, color=colors[i]))
# Add a legend
plt.legend(class_distr, y, loc=1)
# Axis labels
plt.xlabel('Principal Component 1')
plt.ylabel('Principal Component 2')
plt.show()
if __name__ == "__main__":
main()
最終，我們將得到降維結(jié)果如下。其中，如果得到當(dāng)特征數(shù) (D) 遠(yuǎn)大于樣本數(shù) (N) 時，可以使用一點(diǎn)小技巧實(shí)現(xiàn) PCA 算法的復(fù)雜度轉(zhuǎn)換。
PCA 降維算法展示
當(dāng)然，這一算法雖然經(jīng)典且較為常用，其不足之處也非常明顯。它可以很好的解除線性相關(guān)，但是面對高階相關(guān)性時，效果則較差；同時，PCA 實(shí)現(xiàn)的前提是假設(shè)數(shù)據(jù)各主特征是分布在正交方向上，因此對于在非正交方向上存在幾個方差較大的方向，PCA 的效果也會大打折扣。
KPCA（kernel PCA）
KPCA 是核技術(shù)與 PCA 結(jié)合的產(chǎn)物，它與 PCA 主要差別在于計算協(xié)方差矩陣時使用了核函數(shù)，即是經(jīng)過核函數(shù)映射之后的協(xié)方差矩陣。
引入核函數(shù)可以很好的解決非線性數(shù)據(jù)映射問題。kPCA 可以將非線性數(shù)據(jù)映射到高維空間，在高維空間下使用標(biāo)準(zhǔn) PCA 將其映射到另一個低維空間。
KPCA 降維算法展示
詳細(xì)內(nèi)容可參見 《Python 機(jī)器學(xué)習(xí)》之特征抽取——kPCA：
https://blog.csdn.net/weixin_40604987/article/details/79632888
代碼地址：
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/blob/master/codes/PCA/KPCA.py
LDA（Linear Discriminant Analysis）
LDA 是一種可作為特征抽取的技術(shù)，其目標(biāo)是向最大化類間差異，最小化類內(nèi)差異的方向投影，以利于分類等任務(wù)即將不同類的樣本有效的分開。LDA 可以提高數(shù)據(jù)分析過程中的計算效率，對于未能正則化的模型，可以降低維度災(zāi)難帶來的過擬合。
LDA 降維算法展示
詳細(xì)內(nèi)容可參見《數(shù)據(jù)降維—線性判別分析（LDA）》：
https://blog.csdn.net/ChenVast/article/details/79227945
代碼地址：
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LDA
MDS（multidimensional scaling）
MDS 即多維標(biāo)度分析，它是一種通過直觀空間圖表示研究對象的感知和偏好的傳統(tǒng)降維方法。該方法會計算任意兩個樣本點(diǎn)之間的距離，使得投影到低維空間之后能夠保持這種相對距離從而實(shí)現(xiàn)投影。
由于 sklearn 中 MDS 是采用迭代優(yōu)化方式，下面實(shí)現(xiàn)了迭代和非迭代的兩種。
MDS 降維算法展示
詳細(xì)內(nèi)容可參見《MDS 算法》
https://blog.csdn.net/zhangweiguo_717/article/details/69663452
代碼地址：
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/MDS
ISOMAP
Isomap 即等度量映射算法，該算法可以很好地解決 MDS 算法在非線性結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)集上的弊端。
MDS 算法是保持降維后的樣本間距離不變，Isomap 算法則引進(jìn)了鄰域圖，樣本只與其相鄰的樣本連接，計算出近鄰點(diǎn)之間的距離，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行降維保距。
ISOMAP 降維算法展示
詳細(xì)內(nèi)容可參見《Isomap》
https://blog.csdn.net/zhangweiguo_717/article/details/69802312
代碼地址：
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/ISOMAP
LLE（locally linear embedding）
LLE 即局部線性嵌入算法，它是一種非線性降維算法。該算法核心思想為每個點(diǎn)可以由與它相鄰的多個點(diǎn)的線性組合而近似重構(gòu)，然后將高維數(shù)據(jù)投影到低維空間中，使其保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)之間的局部線性重構(gòu)關(guān)系，即有相同的重構(gòu)系數(shù)。在處理所謂的流形降維的時候，效果比 PCA 要好很多。
LLE 降維算法展示
詳細(xì)內(nèi)容可參見《LLE 原理及推導(dǎo)過程》
https://blog.csdn.net/scott198510/article/details/76099630
代碼地址：
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LLE
t-SNE
t-SNE 也是一種非線性降維算法，非常適用于高維數(shù)據(jù)降維到 2 維或者 3 維進(jìn)行可視化。它是一種以數(shù)據(jù)原有的趨勢為基礎(chǔ)，重建其在低緯度（二維或三維）下數(shù)據(jù)趨勢的無監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)算法。
下面的結(jié)果展示參考了源代碼，同時也可用 tensorflow 實(shí)現(xiàn)（無需手動更新參數(shù)）。
t-SNE 降維算法展示
詳細(xì)內(nèi)容可參見《t-SNE 使用過程中的一些坑》：
http://bindog.github.io/blog/2018/07/31/t-sne-tips/
代碼地址：
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/T-SNE
LE（Laplacian Eigenmaps）
LE 即拉普拉斯特征映射，它與 LLE 算法有些相似，也是以局部的角度去構(gòu)建數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。它的直觀思想是希望相互間有關(guān)系的點(diǎn)（在圖中相連的點(diǎn)）在降維后的空間中盡可能的靠近；以這種方式，可以得到一個能反映流形的幾何結(jié)構(gòu)的解。
LE 降維算法展示
詳細(xì)內(nèi)容可參見《拉普拉斯特征圖降維及其 python 實(shí)現(xiàn)》：
https://blog.csdn.net/HUSTLX/article/details/50850342
代碼地址：
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LE
LPP（Locality Preserving Projections）
LPP 即局部保留投影算法，其思路和拉普拉斯特征映射類似，核心思想為通過最好的保持一個數(shù)據(jù)集的鄰居結(jié)構(gòu)信息來構(gòu)造投影映射，但 LPP 不同于 LE 的直接得到投影結(jié)果，它需要求解投影矩陣。
LPP 降維算法展示
詳情請參見《局部保留投影算法 (LPP) 詳解》：
https://blog.csdn.net/qq_39187538/article/details/90402961
代碼地址：
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LPP
*《dimensionality_reduction_alo_codes》項(xiàng)目作者簡介
Heucoder，目前是哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)技術(shù)在讀碩士生，主要活躍于互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)域，知乎昵稱為「超愛學(xué)習(xí)」，其 github 主頁地址為： https://github.com/heucoder。
Github 項(xiàng)目地址:
https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes
雷鋒網(wǎng) AI 開發(fā)者
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