編譯 | 琰琰

編輯 | 王曄

量子力學(xué)奠基者之一、英國理論物理學(xué)家保羅·狄拉克（Paul Dirac）在1929年說過：“大部分物理和化學(xué)所需要的數(shù)學(xué)理論的定律都是已知的，但這些定律的方程太復(fù)雜無法求得精確解”。他認(rèn)為，從蛋白質(zhì)折疊、材料失效到氣候變化，所有的物理現(xiàn)象都可以模擬為量子計算。但由于控制方程太復(fù)雜，科學(xué)家無法在現(xiàn)實的時間尺度上求解。

那么，這是否意味著我們永遠(yuǎn)無法實現(xiàn)實時物理模擬？

以前物理學(xué)家通過模型開發(fā)、求近似解等方法可以在較短時間內(nèi)達(dá)到預(yù)期的結(jié)果。然而，隨著研究、軟件和硬件技術(shù)的進(jìn)步，實時仿真只能在極限條件下才能夠?qū)崿F(xiàn)，這一點(diǎn)在視頻游戲物理學(xué)中最為明顯。

模擬物理現(xiàn)象（如碰撞、變形、破裂和流體流動）屬于密集型計算。在游戲中實時模擬此類現(xiàn)象需要對不同的算法進(jìn)行了大量的簡化和優(yōu)化。目前最先進(jìn)模擬方法是剛體物理學(xué)（rigid body physics），它可以確保兩個物體在碰撞和反彈的過程中不會發(fā)生變形或斷裂，這是模擬虛擬游戲的基礎(chǔ)。當(dāng)兩個物體碰撞時，算法能夠進(jìn)行實時檢測并采用適當(dāng)?shù)牧δM碰撞。

如下，電子游戲中的“摧毀”可能是剛體物理學(xué)應(yīng)用的最佳示例。

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需要說明的是，剛體物理學(xué)可用于模擬不變形物體的碰撞，但虛擬游戲中往往存在著大量可變形物體，比如頭發(fā)、衣服。而要想解決這個問題就需要用到柔體動力學(xué)（soft-body dynamics）。

以下是模擬可變形物體的四種方法（按復(fù)雜度排序）

1

彈簧質(zhì)量模型（Spring-Mass Model）

由命名可知，彈簧相互連接的點(diǎn)的質(zhì)量系統(tǒng)代表模型檢測的目標(biāo)，我們可將其視為三維胡克定律網(wǎng)絡(luò)。胡克定律是力學(xué)彈性理論中的一條基本定律，它表明受力固體材料中的應(yīng)力與應(yīng)變（單位變形量）之間成線性關(guān)系。

該模型的主要缺點(diǎn)是建立質(zhì)量彈簧網(wǎng)絡(luò)時需要大量的人力成本，并且材料特性與模型參數(shù)之間沒有嚴(yán)密的邏輯關(guān)系。但盡管如此，該模型在“BeamNG.Drive”賽車游戲中也達(dá)到了非常不錯的效果，如下圖，基于彈簧-質(zhì)量模型的實時車輛模擬器，可用于模擬車輛變形。

2

基于位置的動力學(xué)

（Position-bsed Dynamics，PBD）

運(yùn)動學(xué)模擬的方法通?；诹W(xué)模型，如粒子加速度遵循牛頓第二定律計算，通過積分計算獲取每個時刻的速度和位置。

在基于位置的動力學(xué)，通過求解約束方程的準(zhǔn)靜態(tài)問題來計算位置。PBD方法的精確度較低，但計算速度優(yōu)于基于強(qiáng)制的方法，因此非常適合游戲、動畫電影等視覺場景。游戲中人物的頭發(fā)、衣服的運(yùn)動通常都是采用該模型來實現(xiàn)。PBD不僅局限于可變形固體，還可用于模擬剛體物體和流體。更多內(nèi)容可參考這篇關(guān)于PBD方法的綜述[2]。

3

有限元法（finite element method ，F(xiàn)EM）

有限元方法計算變形材料是基于彈性場理論求解應(yīng)力-應(yīng)變方程。

它本質(zhì)上遵循3D胡克定律，首先將材料劃分為四面體的有限元，通過求解線性矩陣方程，獲得每個時刻步長上頂點(diǎn)上的應(yīng)力和應(yīng)變。FEM是一種基于網(wǎng)格的軟體動力學(xué)模擬方法，它的優(yōu)點(diǎn)是精確度高，且模型參數(shù)與材料特性（如楊氏模量和泊松比）直接相關(guān)。一般而言，F(xiàn)EM模擬在工程應(yīng)用方面不能實時運(yùn)行，但最近知名半導(dǎo)體公司AMD發(fā)布多線程FEM庫，表明FEMFX在游戲中可實時模擬變形材料。

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AMD的實時有限元解算器FEMFX模擬木材斷裂

AMD的FEMFX模擬塑性變形

4

材料點(diǎn)法（Material Point Method ，MPM）

MPM是一種高精度的無網(wǎng)格方法，它比基于網(wǎng)格的方法更適合模擬變形、斷裂、多材料系統(tǒng)和粘彈性流體，因為運(yùn)行效率和分辨率更高。MPM是目前最先進(jìn)的無網(wǎng)格混合歐拉/拉格朗日的方法，是細(xì)胞內(nèi)粒子（PIC）和流體隱式粒子（FLIP）等傳統(tǒng)方法的升級。

MPM模擬不是實時運(yùn)行的，在一個含有一百萬個點(diǎn)的系統(tǒng)中，MPM每幀大約需要半分鐘。詳細(xì)內(nèi)容可見MPM綜述文章[3]。

一片面包的撕裂模擬需要1100萬MPM粒子

5

機(jī)器學(xué)習(xí)與物理模擬

以上四種方法與機(jī)器學(xué)習(xí)有什么關(guān)系呢？

我們注意到，基于傳統(tǒng)方法，模型的計算速度、精度/分辨率等指標(biāo)已經(jīng)陷入了一種瓶頸。物理解算器經(jīng)過過去幾十年的優(yōu)化，其發(fā)生階躍式改進(jìn)的空間已所剩無幾。而在此背景下，機(jī)器學(xué)習(xí)就派上了用場。

最近，牛津大學(xué)[5]、Ubisoft La Forge實驗室[6]、DeepMind公司[7,8]以及蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院[9]的研究表明，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以學(xué)習(xí)物理間的相互作用并實現(xiàn)模擬，重點(diǎn)是速度可以提高多個數(shù)量級。其過程大致為：生成數(shù)以百萬計的模擬數(shù)據(jù)——通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練——使用經(jīng)過訓(xùn)練的模型模擬物理解算器。

其中，生成數(shù)據(jù)和訓(xùn)練模型階段會耗費(fèi)大量時間，但經(jīng)過訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在模擬物理階段速度會非?？臁?/span>例如，牛津大學(xué)的研究人員[5]開發(fā)了一種被稱為：深度仿真器網(wǎng)絡(luò)搜索（Deep Emulator Network Search，DENSE）的方法，該方法將模擬速度提高了20億倍，并通過了10個科學(xué)案例的驗證，包括天體物理學(xué)、氣候、聚變和高能物理學(xué)。

在游戲領(lǐng)域，Ubisoft La Forge研究團(tuán)隊開發(fā)的模型使用簡單的前饋網(wǎng)絡(luò)，通過在三個時間幀中對3D網(wǎng)格對象的頂點(diǎn)位置進(jìn)行訓(xùn)練來學(xué)習(xí)預(yù)測下一幀[6]。該模型本質(zhì)上是將預(yù)測與模擬數(shù)據(jù)集中的已知位置進(jìn)行對比，并通過反向傳播來調(diào)整模型參數(shù)，以最小化預(yù)測誤差。

該團(tuán)隊使用Maya的nCloth物理解算器生成模擬數(shù)據(jù)，這是一種針對布料優(yōu)化的高級彈簧質(zhì)量模型。他們還實施了主成分分析（PCA），實驗表明，僅在最重要的基礎(chǔ)上進(jìn)行訓(xùn)練，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬物理的速度比物理解算器快5000倍。

數(shù)據(jù)驅(qū)動下的布料和粘性材料的物理模擬

相關(guān)視頻： https://www.youtube.com/watch?v=yjEvV86byxg

同樣，DeepMind的團(tuán)隊近期在圖形網(wǎng)絡(luò)方面的工作也取得了驚人的成果[7]。與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的每一層節(jié)點(diǎn)相連不同，圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接具有類似于圖的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。利用圖網(wǎng)絡(luò)模型，該研究團(tuán)隊成功地模擬了各種剛性、柔性材料，如沙子、水、黏液等。

該模型預(yù)測的不是粒子的位置，而是加速度。它使用歐拉積分計算速度和位置；使用一系列物理解算器（包括PBD、SPH和MPM）生成模擬數(shù)據(jù)。由于沒有針對速度進(jìn)行特殊優(yōu)化，該模型沒有明顯快于物理解算器，但它證明了機(jī)器學(xué)習(xí)與物理可以進(jìn)行有效的結(jié)合。

復(fù)雜物理模擬與深度學(xué)習(xí)預(yù)測之間的比較

相關(guān)視頻: https://www.youtube.com/watch?v=h7h9zF8OO7E

雖然該研究領(lǐng)域仍處于初級階段，但我們觀察到基于深度學(xué)習(xí)的技術(shù)進(jìn)一步增強(qiáng)了物理模擬。從量子力學(xué)、分子動力學(xué)到微觀結(jié)構(gòu)以及經(jīng)典物理，各種規(guī)模和復(fù)雜度的物理現(xiàn)象都有很多模擬模型，我們相信，機(jī)器學(xué)習(xí)和物理學(xué)二者結(jié)合將創(chuàng)造巨大的潛在價值。

相關(guān)研究

[1] Paul Dirac, Quantum Mechanics of many-electron systems, Proc. R. Soc. Lond. A 123, 714 (1929)

[2] J. Bender et al., A Survey on Position Based Dynamics, EUROGRAPHICS (2017)

[3] Chenfanfu Jiang et al., The Material Point Method for Simulating Continuum Materials, SIGGRAPH courses (2016)

[4] J. Wolper et al., CD-MPM: Continuum Damage Material Point Methods for Dynamic Fracture Animation, ACM Trans. Graph. 38, 119 (2019)

[5] M. Kasim et al., Building high accuracy emulators for scientific simulations with deep neural architecture search, arXiv (2020)

[6] D. Holden et al., Subspace Neural Physics: Fast Data-Driven Interactive Simulation, SCA Proc. ACM SIGGRAPH (2019)

[7] A. Sanchez-Gonzalez et al., Learning to Simulate Complex Physics with Graph Networks, Proc. 37th Int. Conf. ML, PMLR, 119 (2020)

[8] T. Pfaff et al., Learning Mesh-based Simulations with Graph Networks, arXiv (2021)

[9] B. Kim et al., Deep Fluids: A Generative Network for Parameterized Fluid Simulations, Computer Graphics Forum, 38, 59 (2019)

編譯連接：hppts://www.reddit.com/r/MachineLearning/comments/phvgzb/r_how_machine_learning_will_revolutionise_physics/

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